Question

Найдите область определения функции: f(x)=log√5(3x^2 -2x-8) (Корень из пяти в основании логорифма)

Answer 1

f(x)=log√5(3x^2 -2x-8)

3x^2-2x-8>0

D^2=4+4*2*8=4+8*8=4+64=68=4*17, D=√(4*17)=+-2√17

x1= (2+2√17)/(2*3)=(1+√17)/≅1.7

x2=(1-√17)/3≅-1

3(x+1.7)(x-1)>0

(x+1.7)(x-1)>0

+              -          +

___-1.7_____1_____

xє(-∞;-.17)∪(1;+∞)

Answer 2

Для определения области определения функции, нужно решить неравенство в знаменателе логарифма:

1. Знаменатель логарифма должен быть положительным, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не определен в области действительных чисел.

2. Квадратный корень в знаменателе должен быть вещественным числом. Это означает, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Итак, рассмотрим неравенство:

$3x^2 - 2x - 8 \geq 0$

Для нахождения корней уравнения $3x^2 - 2x - 8 = 0$, воспользуемся квадратным уравнением:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 3$, $b = -2$ и $c = -8$.

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{2 \pm 10}{6}$

Таким образом, корни уравнения $3x^2 - 2x - 8 = 0$ равны:

$x_1 = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Теперь определяем знак выражения $3x^2 - 2x - 8$ на каждом из интервалов, разбивая прямую чисел на три интервала: $(-\infty, -\frac{4}{3})$, $(- \frac{4}{3}, 2)$ и $(2, \infty)$.

1. Для $x < -\frac{4}{3}$: Подставим в $3x^2 - 2x - 8$ значение $x = -2$: $3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 3 \cdot 4 + 4 - 8 = 12 > 0$ Таким образом, на интервале $(-\infty, -\frac{4}{3})$ выражение $3x^2 - 2x - 8$ положительно.

2. Для $-\frac{4}{3} < x < 2$: Подставим в $3x^2 - 2x - 8$ значение $x = 0$: $3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8 < 0$ Таким образом, на интервале $(- \frac{4}{3}, 2)$ выражение $3x^2 - 2x - 8$ отрицательно.

3. Для $x > 2$: Подставим в $3x^2 - 2x - 8$ значение $x = 3$: $3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 - 8 = 3 \cdot 9 - 6 - 8 = 27 - 14 = 13 > 0$