Question

Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) взята точка P, такая что ∠ABP=∠PAC. Прямая AP пересекает BC в точке Q. Оказалось, что ∠BPQ в два раза больше ∠QPC. Докажите, что BQ=2·QC.

Answer 1

Все обозначения смотри на рисунке.

Из рассуждений  суммы  углов треугольника и смежных углов получаем что:

∠BPQ=x+y

∠QPC=(x+y)/2

По тем же рассуждениям можно получить,что:

∠PCA=(x-y)/2

Так же  сразу отметим что:

∠CPA=180-(x+y)/2 → sin∠CPA=sin(180-(x+y)/2)=sin ( (x+y)/2 )

∠BPA=180-(x+y) → sin∠BPA=sin(x+y)

Это  пригодится нам в дальнейшем.

Очевидно, что площади треугольников:

SΔBAQ/SΔQAC=BQ/QC ,тк  они имеют общую высоту.

Тогда:

1/2 *c*b*sin(x)/ (1/2 *c*b*sin(y) )=BQ/QC

sin(x)/sin(y)=BQ/QC

Запишем теоремы синусов  для ΔBAP  и ΔPAC:

1)c/sin(x+y)=b/sin(y)

2)c/sin( (x+y)/2)=a/sin(y)

3) a/sin(y)=b/sin(x-y)/2  → a/b=sin(y)/sin ((x-y)/2)

Поделим 2)  на 1)

sin(x+y)/sin ( (x+y)/2)=a/b

Откуда:

sin(x+y)/sin ( (x+y)/2)=sin(y)/sin ((x-y)/2)

2*sin( (x+y)/2 )*cos( (x+y)/2) /sin( (x+y)/2)=sin(y)/sin ((x-y)/2)

2*cos( (x+y)/2)=sin(y)/sin( (x-y)/2)

2*cos( (x+y)/2) * sin( (x-y)/2)=sin(y)

Применяем формулу произведения синуса на косинус:

2*1/2 *( sin( (x+y)/2 + (x-y)/2 ) +sin(  (x-y)/2 -(x+y)/2 ) )=sin(y)

sin(x)-sin(y)=sin(y)

sin(x)=2*sin(y)

sin(x)/sin(y)=2

BQ/QC=sin(x)/sin(y)=2

Таким  образом:

BQ=2*QC

ЧТД.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами углов в равнобедренном треугольнике и теоремой угловой суммы в треугольнике.

Пусть x - мера угла ABP (и также PAC), тогда угол APC также имеет меру x (из-за равнобедренности треугольника).

Поскольку ∠BPQ в два раза больше ∠QPC, то можем записать:

∠BPQ = 2y (где y - мера угла QPC)

∠QPC = y

Теперь рассмотрим треугольник BPQ. Из теоремы угловой суммы для этого треугольника получим:

∠BPQ + ∠BQP + ∠QPB = 180°

Так как BPQ - равнобедренный треугольник, то ∠BQP также равен x:

2y + x + x = 180°

4y + 2x = 180°

2y + x = 90°

Теперь рассмотрим треугольник BQC. Также из теоремы угловой суммы получим:

∠BQC + ∠QBC + ∠QCB = 180°

Так как BQC - равнобедренный треугольник, то ∠QBC и ∠QCB равны x:

∠BQC + x + x = 180°

∠BQC + 2x = 180°

∠BQC = 180° - 2x

Теперь сравним два выражения для ∠BQC и ∠BPQ:

∠BQC = 180° - 2x

∠BPQ = 2y

Мы уже знаем, что 2y + x = 90°, а значит, x = 90° - 2y.

Подставим это значение обратно в выражение для ∠BQC:

∠BQC = 180° - 2(90° - 2y)

∠BQC = 180° - 180° + 4y

∠BQC = 4y

Таким образом, ∠BQC и ∠BPQ имеют одинаковую меру 4y. А это возможно только если треугольник BQC - равносторонний. В равностороннем треугольнике BQC все стороны равны, то есть BQ = QC.

Таким образом, мы доказали, что BQ = 2·QC.