Question

1.∫((1+㏑x)/x)*dx 2.∫(3x+4)e^(3x)*dx 3.∫(x^2-3x+4/√x)*dx 4.∫(x^5-1/5x-5)dx 5.∫30^(30x) dx Помогите с решением

Answer 1

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из интегралов по порядку:

1. ∫((1+㏑x)/x) dx

Для решения этого интеграла, выполним замену переменной. Пусть u = 1 + ㏑x, тогда du = (1/x) dx. Теперь интеграл примет вид ∫u du, который легко решается: ∫((1+㏑x)/x) dx = ∫u du = u^2/2 + C = (1 + ㏑x)^2/2 + C.

2. ∫(3x+4)e^(3x) dx

Для интегрирования этого выражения, воспользуемся методом интегрирования по частям. По формуле интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, где u и v - функции, которые нужно выбрать.

Возьмем u = 3x + 4 и dv = e^(3x) dx, тогда du = 3 dx и v = (1/3) e^(3x). Теперь подставим значения в формулу: ∫(3x+4)e^(3x) dx = (3x + 4) * (1/3) e^(3x) - ∫(1/3)e^(3x) * 3 dx = (x + 4/3) e^(3x) - ∫e^(3x) dx = (x + 4/3) e^(3x) - (1/3) e^(3x) + C = (x + 1/3) e^(3x) + C.

3. ∫(x^2 - 3x + 4/√x) dx

Этот интеграл состоит из трех частей. Разделим его на три отдельных интеграла: ∫x^2 dx - ∫3x dx + ∫4/√x dx

Вычислим каждый из них: ∫x^2 dx = (x^3)/3 + C1, ∫3x dx = 3 * (x^2)/2 + C2, ∫4/√x dx = 8 * √x + C3.

Таким образом, исходный интеграл равен: ∫(x^2 - 3x + 4/√x) dx = (x^3)/3 - (3x^2)/2 + 8√x + C.

4. ∫(x^5 - 1/5x - 5) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫x^5 dx - ∫(1/5)x dx - ∫5 dx

Вычислим каждый интеграл: ∫x^5 dx = (x^6)/6 + C1, ∫(1/5)x dx = (1/5)(x^2)/2 + C2, ∫5 dx = 5x + C3.

Таким образом, исходный интеграл равен: ∫(x^5 - 1/5x - 5) dx = (x^6)/6 - (1/10)x^2 - 5x + C.

5. ∫30^(30x) dx

Для интегрирования этого выражения, выполним замену переменной. Пусть u = 30x, тогда du = 30 dx, а dx = du/30. Теперь интеграл примет вид (1/30)∫30^u du, который легко решается: (1/30)∫30^u du = (1/30) * (30^u / ln(30)) + C = (1/ln(30)) * 30^u + C = (1/ln(30)) * 30^(30x) + C.

Таким образом, интеграл ∫30^(30x) dx равен (1/ln(30)) * 30^(30x) + C.

Обратите внимание, что C - это постоянная интегрирования, которую необходимо добавить в конце каждого ответа.