Question

Знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (an), якщо a6+a9+a12+a15=20

Answer 1

$S_{20}=\dfrac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20=(2a_1+19d)\cdot10$

Преобразуем заданное в условии равенство:

$a_6+a_9+a_{12}+a_{15}=20\\ (a_1+5d)+(a_1+8d)+(a_1+11d)+(a_1+14d)=20\\4a_1+38d=20\ \Rightarrow\ 2a_1+19d=10$

Подставим найденное значение в выражение суммы:

$S_{20}=10\cdot10=100$

Ответ: 100

Answer 2

Щоб знайти суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії, нам потрібно знайти загальний член прогресії (an) та застосувати формулу для суми перших n членів арифметичної прогресії.

Формула загального члена арифметичної прогресії: an = a1 + (n - 1) * d,

де: an - n-й член прогресії, a1 - перший член прогресії, n - номер члена прогресії, d - різниця між сусідніми членами прогресії.

Ми знаємо, що a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

Давайте знайдемо спільну різницю (d):

d = a9 - a6 = a12 - a9 = a15 - a12.

Тепер, ми можемо знайти перший член прогресії (a1):

a9 = a6 + 3d, a6 = a1 + 5d.

Запишемо вираз для a1:

a1 = a6 - 5d.

Тепер, ми маємо спільну різницю (d) та перший член прогресії (a1), тому можемо знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії (S20) за допомогою формули:

S20 = (n/2) * (a1 + an).

n = 20 (кількість членів прогресії).

Підставимо значення:

S20 = (20/2) * (a1 + a20).

Тепер знайдемо a20 (20-й член прогресії):

a20 = a1 + (20 - 1) * d.

Обчислимо:

a20 = a1 + 19 * d.

Тепер замінимо вираз для a20 та a1 у формулі для S20:

S20 = (20/2) * (a1 + (a1 + 19 * d)).

S20 = 10 * (2 * a1 + 19 * d).

Записали суму перших 20 членів арифметичної прогресії через a1 та d. Тепер, щоб розв'язати задачу, потрібно знайти a1 та d.

Для цього використаємо систему рівнянь, отриманих із умови задачі:

Система рівнянь: a6 + a9 + a12 + a15 = 20, a9 = a6 + 3d, a6 = a1 + 5d.

Підставимо a6 та a9 у перше рівняння:

(a1 + 5d) + (a1 + 8d) + (a1 + 11d) + (a1 + 14d) = 20, 4a1 + 38d = 20, a1 + 9.5d = 5.

Тепер використаємо другу рівняння, щоб знайти d:

a9 = a6 + 3d, a1 + 5d = a1 + 8d, 3d = 0, d = 0.

Так як d = 0, це означає, що різниця між членами прогресії дорівнює нулю, а це означає, що всі члени прогресії однакові. Однак це суперечить умові задачі, тому задача не має розв'язку з умовами, наданими в ній. Можливо, умови або дані в задачі були неправильно вказані.