Question

Найдите значение ∫_0^ln2〖xe^x 〗dx=

Answer 1

$\int \limits ^{ \ln 2} _{0} x {e}^{x} dx = \begin{vmatrix}u = x; & dv = {e}^{x}dx \\ du = dx; & v = {e}^{x}\end{vmatrix} = \\ \\ = x {e}^{x} | ^{ \ln 2} _{0} - \int\limits ^{ \ln 2} _{0} {e}^{x} dx =( x {e}^{x} - {e}^{x} )| ^{ \ln 2} _{0} = \\ = \ln2 \times {e}^{ \ln2} - {e}^{\ln2} - 0 + {e}^{0} = \\=2\ln2 - 2 + 1 = 2\ln2 - 1$

Ответ: 2ln2 -1

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям:

Интегрирование по частям формулируется следующим образом: ∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции, которые мы выбираем для интегрирования по частям, а du и dv - их дифференциалы.

Выберем u = x и dv = e^x dx, тогда du = dx и v = ∫ e^x dx = e^x.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫ x e^x dx = x * e^x - ∫ e^x dx.

Интеграл ∫ e^x dx просто равен e^x + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, наш исходный интеграл становится:

∫ x e^x dx = x * e^x - (e^x + C) = x * e^x - e^x - C.

Теперь найдем значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:

∫_0^ln2 x e^x dx = [(ln2) * e^(ln2) - e^(ln2)] - [0 * e^0 - e^0] = [(ln2) * 2 - 2] - [0 - 1] = [2 * ln2 - 2] - [-1] = 2 * ln2 - 2 + 1 = 2 * ln2 - 1.

Итак, значение интеграла ∫_0^ln2 x e^x dx равно 2 * ln2 - 1.