Question

Найдите значение ∫_0^ln2▒〖xe^x 〗dx=

Answer 1

Ответ:

используем разложение u=x dv= e^xdx ; du=dx v=e^x запишем uv - vdu подставляя пределы интегрирования :

2ln2 -0-(2-1)=2ln2-1

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Пусть u = x, dv = e^x dx, тогда du = dx и v = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫ u dv = uv - ∫ v du, получаем:

∫ (xe^x) dx = x * e^x - ∫ e^x dx

Интеграл ∫ e^x dx равен e^x + C, где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем продолжить вычисления:

∫ (xe^x) dx = x * e^x - e^x + C

Вычислим данный интеграл на интервале от 0 до ln(2):

∫_0^ln2▒〖(xe^x) 〗dx = [x * e^x - e^x]_0^ln2

Подставим верхний предел интегрирования ln(2) в выражение и вычислим:

[ln(2) * e^(ln(2)) - e^(ln(2))] - [0 * e^0 - e^0]

Упрощаем:

[ln(2) * 2 - 2] - [0 - 1] = 2ln(2) - 2 + 1 = 2ln(2) - 1

Таким образом, значение данного интеграла равно 2ln(2) - 1.