Question

Решите пожалуйста используя второй замечателтный предел lim x стремится к бесконечности(1+1/x2)в степени 5x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^{2} })^{5x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^{2} })^{x^2 * 5/x} = e^{ \lim_{x \to \infty} 5/x} = e^0 = 1$

Answer 2

Чтобы решить данное предел, воспользуемся вторым замечательным пределом:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{5x}$

Второй замечательный предел гласит:

$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

где $e \approx 2.71828$ - это число Эйлера.

Для того чтобы привести наш предел к виду второго замечательного предела, выполним следующие преобразования:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{5x} = \lim_{{x \to \infty}} \left[\left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{x^2}\right]^{\frac{5x}{x^2}}$

Заметим, что $\left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{x^2}$ принимает вид $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ при $n = x^2$ при $x \to \infty$. Таким образом, его предел будет равен $e$:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{5x} = \lim_{{x \to \infty}} \left[\left(1 + \frac{1}{{x^2}}\right)^{x^2}\right]^{\frac{5x}{x^2}} = e^5$

Ответ: $e^5 \approx 148.41316$.