Question

Найдите область определения функции: y=log1/2(log2|x+1|)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y = \log_{\frac{1}{2}} (\log_2|x+1|)\\\left \{ {\log_2|x+1| > 0} \atop |x+1| > 0} \right. \left \{ {{\log_2|x+1| > \log_21} \atop |x + 1| \neq 0} \right. \left \{ {{|x+1| > 1} \atop {x \neq -1}} \right.\left$

Решая первое неравенство системы, получим совокупность интервалов:

x ∈ (-∞; -2) ∪ (0; +∞)

Учитывая второе уравнение, получим окончательный результат:

x ∈ (-∞; -2) ∪ (0; +∞) (оно никак не влияет)

Ответ: x ∈ (-∞; -2) ∪ (0; +∞)

Answer 2

Для определения области определения функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(\log_{2}|x+1|)$, необходимо учесть два условия:

1. Внутренний логарифм $\log_{2}|x+1|$ должен быть определен. Это происходит, когда выражение $|x+1|$ больше нуля, так как логарифм отрицательного числа не определен.

2. Внешний логарифм $\log_{\frac{1}{2}}(\ldots)$ должен быть определен. Это происходит, когда выражение $\log_{2}|x+1|$ больше нуля, так как логарифм числа меньше 1 по основанию, меньшему 1 также не определен.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:

1. $|x+1| > 0$ Выражение $|x+1|$ всегда будет больше нуля, так как модуль любого числа всегда неотрицателен. Это означает, что внутренний логарифм всегда определен.

2. $\log_{2}|x+1| > 0$ Чтобы $\log_{2}|x+1|$ был больше нуля, аргумент логарифма $(|x+1|)$ должен быть больше 1, так как логарифм числа меньше 1 по основанию 2 будет отрицательным, и функция не определена в отрицательных значениях.

Таким образом, область определения функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(\log_{2}|x+1|)$ - это множество всех $x$, таких что $|x+1| > 1$.

$|x+1| > 1$ можно решить двумя способами:

1. $x+1 > 1$ и $x+1 < -1$, тогда $x > 0$ и $x < -2$ - но данное условие не имеет решений, так как не существует числа, которое бы одновременно было больше 0 и меньше -2.
2. $x+1 > 1$, тогда $x > 0$.

Таким образом, область определения функции - все действительные числа $x$, такие что $x > 0$. В математической записи это можно представить как:

$\text{Область определения:} \quad x \in (0, +\infty)$