Question

ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ! 98 БАЛЛОВ! Пожалуйста, с полным решением, можно из Интернета, из книг и из любых источников! Решившему буду очень благодарна! Назовем положительное дробное число плохим, если оно не представимо в виде суммы нескольких последовательных членов бесконечной последовательности: 1/(1*2) ; 1/(2*3) ; 1/(3*4) ; ... ; 1/(n*(n-1)). Верно ли, что плохих чисел, меньших 1/2000, бесконечно много?

Answer 1

1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1

Пусть есть сумма чисел:

1/p(p+1) + 1/(p+1)(p+2) + ... + 1/(p+q)(p+q+1).

Эта сумма равна:

1/p - 1/(p+1) + 1/(p+1) - 1/(p+2) +...+ 1/(p+q) - 1/(p+q+1) = 1/p - 1/(p+q+1)

Выберем случайное (достаточно большое для выполнения условия про 1/2000) k. Докажем, что между дробями 1/(k)(k+1) и 1/(k+1)(k+2) лежит хотя бы одно плохое число. Выберем простое число t, большее 2k(k+1)(k+2) (такое найдётся из-за бесконечности простых чисел) и найдём самую маленькую дробь (так как их хотя бы две) со знаменателем, равным t, и лежащую между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2). Такая найдётся, так как разность этих двух дробей больше дроби 1/t. Пусть эта дробь равна d/t (она несократима из-за простоты t).

Пусть d/t не является плохим числом. "Начальным членом" суммы чисел будет число, не меньшее 1/k(k+1). Пусть сумма всех дробей равна 1/p - 1/q. Тогда (q-p)/pq = d/t. Тогда либо p, либо q делится на t. Но это не может быть p, так как если p делится на t, то 1/p < d/t. Значит, q делится на t. Но так как мы знаем хотя бы две дроби со знаменателем t (между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2)), то мы не получим меньшую, так как p не больше k, а q не меньше t (мы можем попасть на большую из двух дробей со знаменателем t, но не на меньшую из-за малой величины "шага"). Противоречие.

Значит, d/t - плохое число. А оно "зависело" от k, следовательно, для каждого натурального k оно есть. А натуральных чисел бесконечно много, из чего и плохих дробей - тоже.

Ответ: верно.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится анализ числовой последовательности и понимание, как представить числа в виде суммы последовательных членов данной последовательности.

Данная последовательность может быть представлена следующим образом:

1/(12) ; 1/(23) ; 1/(34) ; ... ; 1/(n(n-1)) = 1/n - 1/(n-1).

Для наглядности, посмотрим на несколько первых членов этой последовательности:

1/(12) = 1/2 = 0.5 1/(23) = 1/6 ≈ 0.16667 1/(34) = 1/12 ≈ 0.08333 1/(45) = 1/20 = 0.05

Мы можем заметить, что каждый член последовательности состоит из разности двух дробей, где числитель второй дроби всегда равен 1, а знаменатель увеличивается на 1 по сравнению с предыдущим членом. Каждое число вида 1/n, где n - натуральное число, всегда представимо в виде суммы последовательных членов данной последовательности.

Теперь, давайте попробуем найти, верно ли, что плохих чисел, меньших 1/2000, бесконечно много.

Посмотрим на первые несколько членов:

1/(12) = 1/2 > 1/2000 1/(23) = 1/6 > 1/2000 1/(34) = 1/12 > 1/2000 1/(45) = 1/20 > 1/2000 ...

Как видим, каждый следующий член последовательности будет всегда меньше предыдущего. Следовательно, если даже первые члены последовательности больше 1/2000, то все последующие тем более будут ей больше. Таким образом, все плохие числа должны быть больше 1/2000.

Следовательно, мы можем заключить, что нет плохих чисел, меньших 1/2000. Все числа меньше 1/2000 можно представить в виде суммы нескольких последовательных членов данной последовательности.