Question

Найдите наибольшее значение функции x^5 - x^3 - 20x на отрезке [-9;0]

Answer 1

Найдем точки экстремума, предварительно вычислив производную функции первого порядка

$f'(x)=\left(x^5-x^3-20x\right)'=5x^4-3x^2-20=0$

Решим как квадратное уравнение относительно $x^2$

$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot(-20)=409\\ \\ x^2=\dfrac{3-\sqrt{409}}{2\cdot5}$

Это уравнение решений не имеет, так как левая уравнения положительно, а правая - отрицательно.

$x^2=\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}\\ \\ x=\pm\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}$

Только $x=-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}\in [-9;0]$, второй корень не удовлетворяет условию.

Найдем наибольшее значение функции на концах отрезка.

$f(-9)=-9^5+9^3+20\cdot9=-58140\\ f(0)=0\\ f\left(-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}\right)\approx26$

Ответ: $\displaystyle \max_{[-9;0]}f(x)=26$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $x^5 - x^3 - 20x$ на отрезке $[-9; 0]$, нужно найти критические точки на этом интервале и проверить их значения, а также значения функции на границах интервала.

1. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$f(x) = x^5 - x^3 - 20x$

$f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 20$

2. Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$5x^4 - 3x^2 - 20 = 0$

Это квадратное уравнение по переменной $x^2$. Решим его, подставляя $t = x^2$:

$5t^2 - 3t - 20 = 0$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением или графиком, но результатом будет:

$t = x^2 = -\frac{1}{5} \quad \text{или} \quad t = x^2 = 4$

3. Найдем значения $x$ из полученных значений $t$:

a) $x^2 = -\frac{1}{5}$: Это уравнение не имеет действительных корней на интервале $[-9; 0]$, так как квадрат не может быть отрицательным.

b) $x^2 = 4$: Здесь есть два действительных корня: $x = -2$ и $x = 2$.

4. Теперь найдем значения функции в полученных критических точках и на границах интервала:

a) $x = -9$: $f(-9) = (-9)^5 - (-9)^3 - 20(-9) = -3285$.

b) $x = -2$: $f(-2) = (-2)^5 - (-2)^3 - 20(-2) = -4 - (-8) + 40 = 44$.

c) $x = 0$: $f(0) = 0^5 - 0^3 - 20(0) = 0$.

d) $x = 2$: $f(2) = 2^5 - 2^3 - 20(2) = 32 - 8 - 40 = -16$.

5. Итак, наибольшее значение функции $x^5 - x^3 - 20x$ на отрезке $[-9; 0]$ равно 44. Это значение достигается при $x = -2$.