Question

В вершинах 8-угольника записаны натуральные числа. На каждой стороне, соединяющей 2 вершины, записали сумму двух соответствующих чисел. Может ли быть на сторонах записана следующая последовательность цифр: 11,12,13,14,15,16,17,18? С ОБЬЯСНЕНИЕМ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 числа при вершинах

x1+x2, x2+x3, x3+x4, x4+x5, x5+x6, x6+x7, x7+x8, x1+x8 числа на сторонах

или запишем как  

x1+x2=a1

x2+x3=a2

x3+x4=a3

x4+x5=a4

x5+x6=a5

x6+x7=a6

x7+x8=a7

x8+x1=a8  

Отметим что если такие числа существует то должно выполнятся равенство

a1+a3+a5+a7=a2+4+a6+a8  (порядок в каком брать числа здесь не важен)

Проверим можно ли разбить 11,12,13,14,15,16,17,18 в нужную сумму, сложив числа 11+12+13+14+15+16+17+18=116 откуда 116/2=58 то есть такой порядок последовательности возможна, как пример

x1=2, x2=9, x3=3, x4=11, x5=2, x6=13, x7=3, x8=15

Answer 2

Для того чтобы определить, может ли быть данная последовательность чисел на сторонах 8-угольника, рассмотрим возможные варианты значений чисел в вершинах.

Предположим, что на сторонах 8-угольника записана последовательность чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Теперь посмотрим, какие натуральные числа могут быть записаны в вершинах 8-угольника.

Пусть a, b, c, d, e, f, g, h - это числа, записанные в вершинах (по часовой стрелке), а p, q, r, s, t, u, v, w - это числа, записанные на сторонах (соединяющих вершины в соответствующем порядке).

Тогда мы можем составить следующую систему уравнений для сумм чисел в вершинах и на сторонах:

1. a + b = p (сумма чисел на стороне, соединяющей вершины a и b)
2. b + c = q
3. c + d = r
4. d + e = s
5. e + f = t
6. f + g = u
7. g + h = v
8. h + a = w

Теперь подставим значения из заданной последовательности чисел и проверим, возможно ли найти подходящие натуральные числа для вершин:

1. a + b = 11
2. b + c = 12
3. c + d = 13
4. d + e = 14
5. e + f = 15
6. f + g = 16
7. g + h = 17
8. h + a = 18

Чтобы определить, возможно ли найти такие значения, вычислим сумму всех уравнений:

(a + b) + (b + c) + (c + d) + (d + e) + (e + f) + (f + g) + (g + h) + (h + a) = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18

2(a + b + c + d + e + f + g + h) = 116

a + b + c + d + e + f + g + h = 58

Таким образом, сумма всех чисел в вершинах должна быть равна 58.

Теперь рассмотрим, какие значения могут быть в вершинах. Натуральные числа должны быть положительными, поэтому наименьшая возможная сумма для восьми различных натуральных чисел - это 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Таким образом, сумма чисел в вершинах (58) превышает возможную наименьшую сумму (36), и, следовательно, такая последовательность чисел на сторонах не может быть получена с помощью натуральных чисел в вершинах 8-угольника.

Вывод: Заданная последовательность чисел (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18) на сторонах 8-угольника не может быть реализована с помощью натуральных чисел в его вершинах.