Question

можно ли расставить знаки "+" и "-" между дробями 1/2, 1/3, 1/4,......., 1/1994 таким образом, чтобы полученное выражение оказалось равным 4?​

Answer 1

Предположим, что требуемая расстановка возможна. Приведём все дроби к общему знаменателю. Очевидно, что знаменатель будет чётным. Кроме того, существует ровно одна дробь с нечётным числителем - 1/1024, та, которую не надо было умножать на 2, так как она содержит двойку в максимальной степени среди этих дробей. Кроме того, она единственна, так как следующее число, делящееся на 2¹⁰ - 2048, которое отсутствует среди исходных знаменателей. Следовательно, числитель полученной дроби будет нечётным. Мы получили дробь, числитель которой нечётен, а знаменатель - чётен. Получается, данная дробь не является целым числом, так как числитель не делится на знаменатель. Противоречие с тем, что 4 - целое число.

Ответ: нельзя.

Answer 2

Да, возможно расставить знаки "+" и "-" между дробями 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/1994 таким образом, чтобы полученное выражение оказалось равным 4.

Мы можем начать с выражения 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 + ... - 1/1993 + 1/1994. Если продолжить эту альтернативу сложения и вычитания до последней дроби 1/1994, то сумма всех дробей будет равна точно 4.

Это связано с особенностями гармонического ряда, который можно представить в виде альтернирующего ряда, и с использованием определенного числа дробей, в этом случае от 2 до 1994, мы можем получить сумму, равную 4.