Question

Существует ли 1000-значное число n, запись которого не содержит цифры 0, равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа n​

Answer 1

Нет, не существует. У всех трех чисел должен быть один и тот же остаток от деления на 9. Но это невозможно.

Answer 2

Да, существуют 1000-значные числа, которые удовлетворяют данному условию.

Возьмем число, состоящее из 999 цифр 1 и одной цифры 9:

n = 111...1119

Это число будет иметь 1000 цифр и не содержит ни одной цифры 0. Теперь представим два слагаемых, полученных перестановкой цифр числа n:

Первое слагаемое: Переставим цифру 9 на первое место:

n1 = 911...111

Второе слагаемое: Переставим цифру 9 на последнее место:

n2 = 111...119

Оба числа n1 и n2 также будут состоять из 1000 цифр и не содержат ни одной цифры 0. Теперь давайте сложим n1 и n2:

n1 + n2 = 911...111 + 111...119

Заметим, что сумма каждого разряда, кроме последнего, будет равна 10 (так как 9 + 1 = 10), а сумма последних разрядов будет равна 20 (9 + 1 + 9 + 1 = 20).

Таким образом, в итоге получим число:

n1 + n2 = 922...221

Это число также будет состоять из 1000 цифр и не будет содержать цифры 0. Следовательно, мы нашли 1000-значное число n, запись которого не содержит цифры 0 и которое равно сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа n.