Question

Точка M- середина ребра AB правильного тетраэдра DABC. а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD. б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

Answer 1

А)

DABC - правильный тетраэдр ⇒ все рёбра данного тетраэдра равны, и грани представляют собой равные правильные треугольник. Чтобы было удобнее, расположим тетраэдр на грань ACD, что никак не изменяет его. Вершина тетраэдра проецирется в центр основания(ΔACD - правильный), то есть в точку пересечения биссектрис, медиан и высот, и поэтому падает на медиану АР, BO⊥AP  ⇒  (АВР)⊥(ACD), а значит, ортогональная проекция точки на плоскость ACD лежит на медиане AP, MK⊥AP, ч.т.д.

Б)

Не зря ж доказывали, что проекция точки М падает на AP, это пригодиться и под пунктом Б) ; MK⊥AP ⇒ MK⊥(ACD), MK⊥DK, а значит, ∠MDK - искомый угол между прямой DM и плоскостью ACD. Пусть все рёбра тетраэдра равны 1, тогда в правильном ΔABD: DM - медиана, высота, биссектриса и рассчитывается по формуле DM = a√(3)/2 = √(3)/2. Медианы треугольника пересекаются точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины: AO = 2•OP ;  BO⊥AP, MK⊥AP ⇒ BO||MK и ВМ = АМ, значит, АК = КО = ОР ; АР - высота правильного ΔACD ⇒ AP = √(3)/2 , AK = KO = OP = AP/3 = √(3)/6 ; PK = √(3)/3 ; CP = PD = CD/2 = 1/2 ⇒ по т.Пифагора в прям-ом ΔKPD: KD² = PK² + PD² = (√(3)/3)² + (1/2)² = (1/3) + (1/4) = 7/12 ⇒ KD = √(7/12)

В прям-ом ΔMDK: cos∠MDK = KD/DM = √(7/12) : (√(3)/2) = 2√7/√36 = √(7)/3 ⇒ ∠MDK = arccos(√(7)/3)

Ответ: б) arccos(√(7)/3)

Answer 2

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

Если из точки В опустить перпендикуляр ВЕ на плоскость ACD, то основание ВЕ по свойству правильной треугольной пирамиды будет находиться в точке пересечения медиан плоскости ACD.

То есть точка Е лежит на медиане АР.

Перпендикуляр МК из точки М лежит в плоскости АВЕ, которая перпендикулярна плоскости ACD.

По свойству подобия треугольников АВЕ и АМК основание (точка К) перпендикуляра из точки В будет лежать на медиане АР.

б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

Примем длину ребра тетраэдра, равной 1.

DM - это апофема боковой грани правильного тетраэдра.

По свойству правильного треугольника DM = √3/2.

Длина перпендикуляра МК равна половине высоты правильного тетраэдра, равной √(2/3), то есть МК = √(2/3)/2 = √(2/12) = √6/6.

Отсюда находим искомый угол:

sin φ = МК/МD = (√6/6)/(√3/2) = √2/3.

φ = arc sin(√2/3) = 0,4909 радиан = 28,1255 градуса.

Такой же ответ получаем при векторном расчёте .

Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n

Скалярное произведение 0,353553391    

s = {l; m; n}  -0,144337567 0,25 0,816496581

Модуль = √0,75 =  0,866025404.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:

    A B C   sin fi = 0,471404521  

  Ax + By + Cz + D = 0  0,40824829 0,707106781 0,288675135 Модуль 0,866025404

fi = 0,490882678  радиан

  = 28,1255057 градус .

Answer 3

Для доказательства утверждения а) о том, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD, рассмотрим следующее:

а) Доказательство:

1. Пусть P - середина ребра CD, то есть точка, в которой медиана AP грани ACD пересекается с плоскостью ACD. Обозначим точку ортогональной проекции точки M на плоскость ACD через N.

2. Поскольку точка M является серединой ребра AB, то отрезок MC также является медианой треугольника ABD.

3. Так как тетраэдр DABC является правильным, то он имеет симметричную структуру, и все его ребра равны. Это означает, что отрезок MC также равен отрезку MB.

4. Из равенства треугольников MBC и MAD следует, что углы BMC и MAD также равны.

5. Также из равенства треугольников MNC и MAD следует, что углы NMC и MAD равны.

6. Так как углы BMC и NMC равны, а отрезок MC равен MB, то треугольники BMC и NMC равнобедренные.

7. Это означает, что отрезок MN, являющийся высотой треугольника NMC, проходит через середину ребра BC, а именно точку P.

Таким образом, мы доказали, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

б) Найдем угол между прямой DM и плоскостью ACD:

1. Заметим, что прямая DM лежит в плоскости DMC, так как точка M принадлежит и этой плоскости, и прямая DM, проходящая через M и D, тоже лежит в ней.

2. Плоскость DMC пересекает плоскость ACD по прямой DC, так как они обе проходят через D и C и содержат прямую DM.

3. Угол между прямой DM и плоскостью ACD будет равен углу между прямой DM и прямой DC в плоскости DMC.

4. Но прямая DC - это медиана треугольника DMC, и в правильном тетраэдре DABC все его грани равносторонние треугольники.

5. Таким образом, угол между прямой DM и прямой DC в плоскости DMC будет 60 градусов (угол между медианой и стороной равностороннего треугольника).

Следовательно, угол между прямой DM и плоскостью ACD также будет составлять 60 градусов.