Question

В основании правильной треугольной призмы ABCA B C 111 лежит правильный треугольник со стороной 12. Высота призмы равна 9. Точка D — середина ребра AB, точка E — середина ребра B1 1 C . Через точки D и E проведена плоскость α , параллельная ребру BB1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α — прямоугольник. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α .

Answer 1

Б)
Площадь грани 
S1 = a*h = 12*9 = 108 см²
Отрезок DE1 - средняя линия ΔАВС.
DE1 = AC/2 = 12/2 = 6 см
Площадь сечения DE1ED1
S2 = DE1 * h = 6*9 = 54 см² - ОТВЕТ
S2 = S1 ^ 2 = 108 : 2 = 54 см²

Answer 2

Доказательство, что сечение призмы плоскостью α является прямоугольником

Для доказательства того, что сечение призмы плоскостью α является прямоугольником, мы можем использовать свойства параллельных плоскостей и прямоугольных треугольников.

Дано: - Основание призмы ABCA является правильным треугольником со стороной 12. - Высота призмы равна 9. - Точка D является серединой ребра AB. - Точка E является серединой ребра B1 1 C. - Плоскость α проведена через точки D и E и параллельна ребру BB1.

a) Доказательство, что сечение призмы плоскостью α является прямоугольником

Для начала, докажем, что плоскость α параллельна основанию ABCA призмы. Поскольку точка D является серединой ребра AB, а точка E является серединой ребра B1 1 C, то отрезки DE и BC являются параллельными и равными. Также, поскольку плоскость α проведена через точки D и E, она параллельна плоскости, проходящей через основание ABCA призмы. Таким образом, сечение призмы плоскостью α является параллельным основанию и является прямоугольником.

б) Нахождение площади сечения пирамиды плоскостью α

Чтобы найти площадь сечения пирамиды плоскостью α, нам необходимо знать размеры этого сечения. Поскольку сечение является прямоугольником, нам нужно найти его длину и ширину.

Длина сечения:

Длина сечения равна длине ребра, перпендикулярного плоскости α и проходящего через точку D или E. Поскольку точка D является серединой ребра AB, то длина ребра DD1 равна половине длины ребра AB. Длина ребра AB равна стороне треугольника ABC, которая равна 12. Таким образом, длина сечения равна 12/2 = 6.

Ширина сечения:

Ширина сечения равна длине ребра, параллельного плоскости α и проходящего через точку D или E. Поскольку точка E является серединой ребра B1 1 C, то длина ребра B1 1 C равна половине длины ребра B1C. Длина ребра B1C равна стороне треугольника B1 1 C, которая также равна 12. Таким образом, ширина сечения равна 12/2 = 6.

Площадь сечения:

Площадь сечения равна произведению длины и ширины. В данном случае, площадь сечения равна 6 * 6 = 36.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна 36.