Question

В группе 25 студентов, среди них 10 «отличников», 13 «хорошистов» и 2 «троечников». Вероятность того, что «отличник» экзамен сдаст равна 0,8, для «хорошиста» и «троечника» та же вероятность равна 0,7 и 0,5 соответственно. Найти вероятность того, что наудачу вызванный студент экзамен сдаст. В условиях предыдущей задачи найти вероятности гипотез, после того, как стал известным исход проводимого испытания. Исход был удачен. Найти наиболее вероятную гипотезу.

Answer 1

Вроде, должно быть так

Answer 2

Для решения этой задачи, обозначим события следующим образом:

• A: студент является отличником,
• B: студент является хорошистом,
• C: студент является троечником,
• D: студент сдал экзамен.

Мы знаем следующие вероятности: P(A) = вероятность быть отличником = 10/25 = 0.4 P(B) = вероятность быть хорошистом = 13/25 = 0.52 P(C) = вероятность быть троечником = 2/25 = 0.08

Также, у нас есть информация о вероятности сдачи экзамена для каждой группы студентов: P(D|A) = вероятность того, что отличник сдаст экзамен = 0.8 P(D|B) = вероятность того, что хорошист сдаст экзамен = 0.7 P(D|C) = вероятность того, что троечник сдаст экзамен = 0.5

1. Найти вероятность того, что наудачу вызванный студент экзамен сдаст (P(D)):

Используем формулу полной вероятности: P(D) = P(D|A) * P(A) + P(D|B) * P(B) + P(D|C) * P(C) P(D) = 0.8 * 0.4 + 0.7 * 0.52 + 0.5 * 0.08 P(D) = 0.32 + 0.364 + 0.04 P(D) = 0.724

Таким образом, вероятность того, что наудачу вызванный студент сдаст экзамен, равна 0.724 или 72.4%.

2. Найти вероятности гипотез после того, как стал известен исход проводимого испытания (студент сдал экзамен):

Для этого используем формулу Байеса: P(A|D) = P(D|A) * P(A) / P(D) P(B|D) = P(D|B) * P(B) / P(D) P(C|D) = P(D|C) * P(C) / P(D)

Мы уже знаем P(D) = 0.724.

Теперь подставим значения и вычислим вероятности:

P(A|D) = 0.8 * 0.4 / 0.724 ≈ 0.441 P(B|D) = 0.7 * 0.52 / 0.724 ≈ 0.503 P(C|D) = 0.5 * 0.08 / 0.724 ≈ 0.055

Таким образом, после того, как стал известен исход испытания (студент сдал экзамен), вероятности гипотез выглядят следующим образом: P(A|D) ≈ 0.441 (для отличника) P(B|D) ≈ 0.503 (для хорошиста) P(C|D) ≈ 0.055 (для троечника)

3. Найти наиболее вероятную гипотезу:

Наиболее вероятная гипотеза - та, для которой P(hypothesis|D) максимально. Таким образом, из вычисленных вероятностей, наиболее вероятной гипотезой является P(B|D) ≈ 0.503, то есть студент был хорошистом.