Question

В группе 20 студентов, из них 5 отличников, 7 хорошистов, остальные студенты учатся удовлетворительно. Вероятность сдачи зачета с первой попытки для отличника– 0,9; для хорошиста – 0,65; для остальных студентов – 0,25. Найти вероятность того, что наугад вызванный студент сдаст зачет. Какова вероятность того, что этот студент хорошист

Answer 1

Ответ:

0,5525     0,412

Пошаговое объяснение:

введём полную группу гипотез:

Н1=(студент учится на отлично) - 5 чел

Н2=(студент учится на хорошо) - 7 чел

Н3=(студент учится удовлетворительно) - 20-(5+7)=8 чел

по классическому определению вероятности:

Р(Н1)=5/20=1/4=0,25  Р(Н2)=7/20=0,35   Р(Н3)=8/20=2/5=0,4

событие А: студент сдаст зачёт

условные вероятности: Р(А/Н1)=0,9  Р(А/Н2)=0,65   Р(А/Н3)=0,25

вероятность события А по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(А/Н1)Р(Н1)+Р(А/Н2)Р(Н2)+Р(А/Н3)Р(Н3)

Р(А)=0,9·0,25+0,65·0,35+0,25·0,4=0,225+0,2275+0,1=0,5525

вероятность, что этот студент хорошист

Р(Н2/А)=Р(Н2)Р(А/Н2)/Р(А)   Р(Н2/А)=0,35·0,65÷0,5525≈0,412

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу полной вероятности, которая учитывает вероятности событий в зависимости от категории студентов.

Пусть событие A обозначает то, что студент сдал зачет, а события B1, B2 и B3 обозначают, что студент является отличником, хорошистом и учится удовлетворительно соответственно.

По формуле полной вероятности: $P(A) = P(A|B1) \cdot P(B1) + P(A|B2) \cdot P(B2) + P(A|B3) \cdot P(B3)$

Известные вероятности:

• $P(A|B1) = 0.9$ (вероятность сдачи зачета с первой попытки для отличника)
• $P(A|B2) = 0.65$ (вероятность сдачи зачета с первой попытки для хорошиста)
• $P(A|B3) = 0.25$ (вероятность сдачи зачета с первой попытки для студентов, учащихся удовлетворительно)

Также известно:

• $P(B1) = \frac{5}{20}$ (вероятность, что студент отличник)
• $P(B2) = \frac{7}{20}$ (вероятность, что студент хорошист)
• $P(B3) = 1 - P(B1) - P(B2) = \frac{8}{20}$ (вероятность, что студент учится удовлетворительно)

Подставив все значения в формулу, получим: $P(A) = 0.9 \cdot \frac{5}{20} + 0.65 \cdot \frac{7}{20} + 0.25 \cdot \frac{8}{20}$

Вычислим это значение: $P(A) = 0.225 + 0.2275 + 0.1 = 0.5525$

Таким образом, вероятность того, что наугад вызванный студент сдаст зачет, составляет примерно 0.5525 или 55.25%.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что этот студент хорошист, мы используем условную вероятность: $P(B2|A) = \frac{P(A|B2) \cdot P(B2)}{P(A)}$

Подставив известные значения: $P(B2|A) = \frac{0.65 \cdot \frac{7}{20}}{0.5525} \approx 0.4182$

Итак, вероятность того, что наугад вызванный студент сдаст зачет и будет хорошистом, составляет примерно 0.4182 или 41.82%.