Question

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і дорівнює 4 см. Знайдіть площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї, дорівнює 2,5 см.

Answer 1

Поскольку диагонали перпендикулярны к боковой стороне, то ∠ABD и ∠ACD опираются на диаметр AD, следовательно, центр окружности лежит на середине AD

AO = OD = 2.5 см, тогда AD = 2 * 2.5 = 5 см

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACD

$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ см

Каждый катет есть среднее пропорциональное между проекцией катета и гипотенузы, т.е.

$CD=\sqrt{AD\cdot ED}~~~\Rightarrow~~~ ED=\dfrac{CD^2}{AD}=\dfrac{3^2}{5}=1.8~_{\sf CM}$

Тогда BC = AD - 2 * ED = 5 - 2 * 1.8 = 1.4 см

AE = AD - ED = 5 - 1.8 = 3.2 см

Высота, опущенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

$CE=\sqrt{AE\cdot ED}=\sqrt{3.2\cdot1.8}=2.4~_{\sf CM}$

Площадь равнобокой трапеции:

$S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CE=\dfrac{5+1.4}{2}\cdot 2.4=7.68~_{\sf CM^2}$

Answer 2

Для вирішення задачі про площу трапеції, нам знадобиться знати формулу для обчислення площі трапеції:

Площа трапеції = ((сума довжин основ) * висота) / 2

Також, нам дані дві рівнобічні сторони трапеції, тому одна основа дорівнює іншій стороні.

Позначимо одну сторону рівнобічної трапеції як "a" (вона дорівнює 4 см), а другу сторону (іншу основу) позначимо як "b".

Так як діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони, то ми можемо розділити трапецію на два прямокутних трикутники, які мають діагональ як гіпотенузу і бічну сторону трапеції як одну зі сторін.

Згідно до властивостей рівнобічних трикутників, діагональ трикутника розділяє його на два рівні прямокутні трикутники, тому кожен з прямокутних трикутників буде містити кут 45 градусів (90 градусів / 2).

Тепер, ми можемо знайти довжину бічної сторони "b" за допомогою тригонометричних співвідношень:

sin(45°) = протилежна сторона / гіпотенуза sin(45°) = b / 2,5 см

Тепер знайдемо довжину "b":

b = 2,5 см * sin(45°) b = 2,5 см * 0,7071 b ≈ 1,7678 см

Тепер ми можемо обчислити площу трапеції:

Площа трапеції = ((a + b) * висота) / 2 Площа трапеції = ((4 см + 1,7678 см) * висота) / 2 Площа трапеції = (5,7678 см * висота) / 2

Залишається знайти висоту трапеції. Оскільки радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 2,5 см (що є гіпотенузою прямокутного трикутника), то висота - це його протилежна сторона. Знову використовуємо тригонометрію:

sin(45°) = протилежна сторона (висота) / гіпотенуза (2,5 см) sin(45°) = висота / 2,5 см

Висота = 2,5 см * sin(45°) Висота = 2,5 см * 0,7071 Висота ≈ 1,7678 см

Тепер ми можемо підставити знайдену висоту у формулу для площі трапеції:

Площа трапеції = (5,7678 см * 1,7678 см) / 2 Площа трапеції ≈ 5,1089 кв. см

Отже, площа трапеції приблизно дорівнює 5,1089 квадратних сантиметрів.