Question

обозначим (x) - ближайшее к x целое число (считаем, что (n+1/2)=n+1, где n - целое). Найдите все действительные x, для которых [x](x)=[x]{x}+(x){x}.

Answer 1

Так как моё решение оказалось слишком длинным, сайт отказался принимать чистый Tex, пришлось компилировать в свой файл и нарезать в изображения.

Успехов! Задача явно олимпиадная.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение по частям.

Пусть x = [x] + {x}, где [x] - целая часть числа x, а {x} - дробная часть числа x.

Тогда x = [x] * ( [x] + {x} ) = [x]^2 + [x]{x}, а

[x]{x} = {x} * ( [x] + {x} ) = [x]{x} + {x}^2.

Подставляем обратно в исходное уравнение:

x = [x]{x} + (x){x}

[x]^2 + [x]{x} = [x]{x} + (x){x}

[x]^2 = (x){x}

Теперь рассмотрим два случая:

1. Пусть x - целое число. В этом случае [x] = x и (x){x} = 0, так как дробная часть числа равна нулю. Подставляем в уравнение:

[x]^2 = 0

x^2 = 0

Решением этого уравнения является только x = 0.

2. Пусть x - нецелое число. В этом случае [x] = x - 1 и (x){x} = {x}^2. Подставляем в уравнение:

[x]^2 = (x){x}

(x - 1)^2 = {x}^2

Раскрываем квадрат:

x^2 - 2x + 1 = {x}^2

Переносим все в одну сторону:

x^2 - {x}^2 - 2x + 1 = 0

Разность квадратов:

(x - {x})(x + {x}) - 2x + 1 = 0

(x - {x})(x + {x} - 2) + 1 = 0

Таким образом, уравнение сводится к уравнению (x - {x})(x + {x} - 2) + 1 = 0.

Поскольку мы рассматриваем нецелые значения x, дробная часть {x} не равна нулю. Таким образом, мы можем разделить обе части уравнения на (x - {x}), получая:

x + {x} - 2 + 1/(x - {x}) = 0

x + {x} - 1 + 1/(x - {x}) = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет целых частей или фигурных скобок. Мы можем решить его, используя алгебраические методы или численные методы.

Итак, чтобы найти все действительные решения уравнения x = [x]{x} + (x){x}, мы должны рассмотреть два случая:

1. x = 0
2. Решение уравнения (x - {x})(x + {x} - 2) + 1 = 0 для нецелых x.

Обратите внимание, что мы предполагаем, что (n+1/2) = n+1 для целых чисел n. Это допущение позволяет нам получить решение x = 0. Если это допущение не выполняется, то решение x = 0 не будет являться действительным решением уравнения.