Question

(x^2+5x)/x-1>14/x-1 Как решить?

Answer 1

(x²+5x)/(x-1)>14/(x-1)

(x²+5x-14)/(x-1)>0; x²+5x-14=0, по теореме, обратной теореме ВИЕТА х=-7, х=2. Разложим квадратный трехчлен на множители.

x²+5x-14=(х+7)(х-2);  (х+7)(х-2)/(х-1)>0

Применим метод интервалов. х= -7, х=2, х=1 разобьем числовую ось на интервалы и установим знаки на каждом из них.

_____-7___1______2___

-               +            -        +

х∈(-7;1)∪(2;+∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с приведения дробей к общему знаменателю. Общий знаменатель равен (x - 1), поэтому умножим обе части неравенства на (x - 1):

(x^2 + 5x)/(x - 1) > 14/(x - 1)

Умножение на (x - 1) не меняет знак неравенства, поэтому получаем:

(x^2 + 5x) > 14

Теперь приведем это квадратное неравенство к стандартному виду. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить ноль справа:

x^2 + 5x - 14 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Можно воспользоваться факторизацией или квадратным корнем, но в данном случае используем метод знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

1. Найдем корни уравнения x^2 + 5x - 14 = 0. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 5^2 - 4(1)(-14) D = 25 + 56 D = 81

x_1 = (-b + sqrt(D))/(2a) x_1 = (-5 + sqrt(81))/(2*1) x_1 = (-5 + 9)/2 x_1 = 4/2 x_1 = 2

x_2 = (-b - sqrt(D))/(2a) x_2 = (-5 - sqrt(81))/(2*1) x_2 = (-5 - 9)/2 x_2 = -14/2 x_2 = -7

2. Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

   (-∞, -7) | (-7, 2) | (2, +∞) (-) | (+) | (+)

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -7) и (2, +∞).

Итак, решением данного неравенства является:

(-∞, -7) U (2, +∞)