Question

Правильная шестиугольная пирамида. Угол между боковой гранью и основанием - 30 градусов. Площадь боковой поверхности - 300. Найти объём пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$V=\frac{1}{3} So.*h$ (где V-объём правильной шестиугольной пирамиды, So.- площадь основания пирамиды, h- высота пирамиды).

"Как видите, ни один из элементов формулы нам пока не известен. Нужно выразить их из данных условия, т.е. через площадь боковой поверхности пирамиды."

$Sb.=\frac{1}{2} P*a$ (где Sb.- площадь боковой поверхности шестиугольной правильной пирамиды, P- периметр основания, a- апофема пирамиды.)

Так как основанием пирамиды является правильный шестиугольник, то

$Sb.=3b*a$ (где b-длина стороны основания)

Учитывая, что угол между боковой гранью и основанием равен 30°, то апофема и высота пирамиды относятся, как, соответственно, гипотенуза и меньший катет в прямоугольном треугольнике, т.е.

$h=\frac{1}{2} a$; (из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и проекцией апофемы на основание h=a*sin(30°))

Найдём отношение площади боковой поверхности Sb. и площади основания Sо. Каждая из поверхностей раскладывается на 6 равных треугольников.  

Площадь бокового треугольника равна

$\frac{1}{2}b*a$

Площадь треугольника основания равна

$\frac{1}{2} b*\frac{\sqrt{3} }{2}a =\frac{\sqrt{3} }{4} ab$ (т.к. высота в таком треугольнике есть проекцией апофемы на основание и равна

a*cos(30°)=$\frac{\sqrt{3}} {2} a$).

Значит отношение площади боковой поверхности и площади основания равно:

$\frac{Sb}{So} =\frac{2}{\sqrt{3} }$

Тогда площадь основания So можно выразить через площадь боковой поверхности как:

$So=\frac{\sqrt{3} }{2} Sb$

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нужно выразить апофему  а через площадь боковой поверхности Sb.

Основание - правильный шестиугольник, состоит из 6 правильных треугольников с внутренними углами по 60°. Высоту такого треугольника мы уже находили $\frac{\sqrt{3}} {2} a$. Такая высота (являясь также биссектрисой) делит правильный треугольник на 2 прямоугольных с прилежащим к ней углом 30° (60°/2=30°).

Тогда сторона b правильного треугольника равна

$b=\frac{\frac{\sqrt{3} }{2} a}{cos (30)} =a$

b=a.

Подставив полученные выражения в формулу боковой поверхности, получим:

$Sb.=3b*a=3a^{2}$ ⇔

$a=\sqrt{\frac{Sb}{3} }$

а так, как мы вывели, что $h=\frac{1}{2} a$, то

$h=\frac{1}{2} *\sqrt{\frac{Sb}{3} }$

Теперь все неизвестные выражены через площадь боковой поверхности и мы можем вычислить объём пирамиды:

$V=\frac{1}{3} So.*h$

$V=\frac{1}{3} *\frac{\sqrt{3} }{2} Sb*\frac{1}{2} \sqrt{\frac{Sb}{3} }$

$V=\frac{Sb*\sqrt{Sb} }{12}$

$V=\frac{300*\sqrt{300} }{12} =\frac{3000*\sqrt{3} }{12} =250\sqrt{3}$

*в решении задачи многократно применялась теорема Пифагора. Чтобы сократить текст решения, я это опустил.

Answer 2

Для нахождения объёма правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно знать её высоту (h) и длину стороны основания (a).

Высота (h) пирамиды может быть найдена с использованием формулы для высоты равностороннего треугольника, где угол между боковой гранью и основанием составляет 30 градусов. Внутри равностороннего треугольника такой угол делит боковую сторону пополам, что дает нам прямоугольный треугольник с катетами h/2 и a/2. Можем применить функцию тангенса угла 30 градусов, чтобы найти высоту (h):

tan(30°) = (h/2) / (a/2)

Решим уравнение:

h/2 = (a/2) * tan(30°)

h = a * tan(30°)

Теперь, когда у нас есть высота, можем найти объем пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S_base * h,

где S_base - площадь основания, h - высота.

В нашем случае, площадь боковой поверхности (S_base) равна 300, а высоту (h) мы уже нашли выше. Подставим значения в формулу:

V = (1/3) * 300 * (a * tan(30°))

V = 100 * a * tan(30°)

Теперь нам нужно найти длину стороны основания (a) для того, чтобы найти объем пирамиды. Однако, из предоставленной информации мы не можем однозначно определить длину стороны основания (a). Если бы у нас была дополнительная информация об этом параметре, мы могли бы найти объем пирамиды.