Question

если плотность пластины ,занимающей область D,задаётся формулой p(х,у)=3,то массу этой пластины можно найти по формуле

Answer 1

Масса плоской пластины находится по формуле:

$M=\iint\limits_Dp(x,y)dxdy$

Где p(x,y) - плотность тела.

В нашем случае p(x,y) = 3, поэтому формула будет иметь вид

$M=\iint\limits_D3dxdy$

Answer 2

Для нахождения массы пластины с заданной плотностью в области D, нужно вычислить интеграл от плотности по всей области D.

Пусть функция плотности пластины задана как p(x, y) = 3.

Тогда массу M пластины можно вычислить по формуле:

$M = \iint_D p(x, y) \, dA,$

где $dA$ - элемент площади области D, а $\iint_D$ обозначает двойной интеграл по области D.

Для конкретного вычисления массы пластины нужно знать границы области D и функцию, которая определяет эту область. Затем, нужно просто подставить функцию плотности $p(x, y)$ и произвести вычисления интеграла.

Приведу пример вычисления массы пластины, если область D - круг радиусом R:

$M = \iint_D p(x, y) \, dA = \iint_D 3 \, dA,$

где D: $x^2 + y^2 \leq R^2$.

Поскольку $p(x, y) = 3$ постоянная, можно вынести её из-под знака интеграла:

$M = 3 \iint_D dA.$

Теперь нужно проинтегрировать элемент площади $dA$ по области D:

$M = 3 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \, dr \, d\theta,$

где $\theta$ - угол, а $r$ - радиальное расстояние от центра круга.

Вычисляя этот интеграл, получим:

$M = 3 \int_{0}^{2\pi} \frac{R^2}{2} \, d\theta = 3 \cdot \frac{R^2}{2} \cdot 2\pi = 3\pi R^2.$

Таким образом, масса пластины в форме круга радиусом R с постоянной плотностью 3 составляет $3\pi R^2$.