Question

Перпендикуляр опущенный із вершини прямокутника на діагональ ділить її у відношенні 1:3. Знайдіть довжину діагоналі якщо точка перетину діагоналей даного прямокутника віддалена від більшої її сторони на 3,6 см.

Answer 1

Ответ:

14.4 см

Пошаговое объяснение:

Побудуємо прямокутник ABCD, та проведемо в ньому діагоналі АС і BD, а також висоту DO до діагоналі АС і висоту EK із точки перетину діагоналей до більшої сторони AD.

Приймемо, що ОС=х,

тоді АС=4х.

Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то АЕ=СЕ=ЕD=2х

і OE=CE-OC ⇒ OE=2x-x ⇒ OE=x.

Так як точка перетину діагоналей прямокутника є його геометричним центром, то CD=2EK=7.2 см.

Тоді, із прямокутного ΔCDO маємо:

OD²=CD²-OC² ⇒ OD²=51.84 - x²

Із прямокутного ΔEDO маємо:

OD²=ED²-OE² ⇒ OD²=4x² - x² ⇒ OD²=3x²

Отримуємо вираз:

51.84 - x² = 3x²

4x²=51.84

x=3.6

Тоді довжина діагоналі:

АС=4х=14.4 см

Answer 2

Позначимо довжину більшої сторони прямокутника як "a", а довжину меншої сторони як "b". За умовою задачі, точка перетину діагоналей віддалена від більшої сторони на 3,6 см. Отже, довжина більшої сторони прямокутника буде "a - 3.6", а довжина меншої сторони залишається незмінною і дорівнює "b".

Для знаходження довжини діагоналі, нам потрібно знайти довжину відрізка, який ділить діагональ прямокутника відповідно до відношення 1:3.

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника, утвореного діагоналлю прямокутника та перпендикуляром, опущеним з вершини прямокутника на діагональ:

$a^2 + b^2 = d^2$, де "d" - довжина діагоналі.

Також, за умовою задачі, відношення, у якому перпендикуляр ділить діагональ, становить 1:3. Це означає, що відрізок, що ділить діагональ, складає 1/4 від довжини діагоналі (1 частина + 3 частини = 4 частини, 1/4 * d = довжина відрізка).

Таким чином, ми можемо записати рівняння:

$\frac{d}{4} = a - 3.6$

Розв'язавши це рівняння відносно "d", ми отримаємо:

$d = 4(a - 3.6)$

Тепер, ми повинні знайти значення "a". За умовою задачі, точка перетину діагоналей віддалена від більшої сторони на 3,6 см. Таким чином, можемо записати ще одне рівняння:

$a - b = 3.6$

Ми маємо два рівняння з двома невідомими ("a" та "b"). Використовуючи ці рівняння, ми зможемо знайти довжину діагоналі "d".