Question

Сумма сорока первых членов арифметической прогрессии равна 160, а её девятый член равен 9. Найти четырнадцатый член этой прогрессии. ​

Answer 1

Ответ:

$a_{14} = \frac{157}{23}$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - количество членов прогрессии, d - разность между соседними членами прогрессии.

У нас дано, что сумма первых 40 членов прогрессии равна 160:

160 = (40/2) * (2a1 + (40-1)d) 160 = 20 * (2a1 + 39d) 8 = 2a1 + 39d

Также дано, что девятый член прогрессии равен 9:

a9 = a1 + (9-1)d 9 = a1 + 8d

Теперь у нас есть система уравнений:

8 = 2a1 + 39d 9 = a1 + 8d

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Подставим выражение для a1 из второго уравнения в первое:

8 = 2(9 - 8d) + 39d 8 = 18 - 16d + 39d 8 = 18 + 23d 23d = -10 d = -10/23

Теперь найдем a1, используя второе уравнение:

9 = a1 + 8(-10/23) 9 = a1 - 80/23 a1 = 9 + 80/23 a1 = (9*23 + 80)/23 a1 = (207 + 80)/23 a1 = 287/23 a1 = 12.4783 (округлим до четырех знаков после запятой)

Теперь у нас есть первый член (a1) и разность (d) арифметической прогрессии. Мы можем найти четырнадцатый член, используя формулу:

a14 = a1 + (14-1)d a14 = 12.4783 + 13(-10/23) a14 = 12.4783 - 130/23 a14 = (12.4783*23 - 130)/23 a14 = (287.1819 - 130)/23 a14 = 157.1819/23 a14 ≈ 6.8296 (округлим до четырех знаков после запятой)

Таким образом, четырнадцатый член этой арифметической прогрессии равен примерно 6.8296.