Question

Решить дифференциальное уравнение xy'-y=x^2sinx срочно

Answer 1

$y'-\dfrac{y}{x}=x\sin x$

Домножим левую и правую части уравнения на интегрирующий множитель:

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=e^{\ln|\frac{1}{x}|}=\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}=\sin x~~~\Rightarrow~~~\left(y\cdot \dfrac{1}{x}\right)'=\sin x$

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

$\dfrac{y}{x}=\displaystyle \int \sin x dx~~~\Rightarriw~~~\dfrac{y}{x}=-\cos x+C\\ \\ \boxed{y=Cx-x\cos x}$

Получили общее решение.

Ответ: y = Cx - xcos x.

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы воспользуемся методом, известным как "метод вариации постоянной". Предположим, что решение имеет вид y = C(x)x, где C(x) - функция, которую мы хотим найти.

Шаг 1: Найдём производную y' и подставим её в исходное уравнение: xy' - y = x^2 sin(x) x(C(x))' - C(x)x = x^2 sin(x)

Шаг 2: Раскроем скобки: xC'(x) - C(x)x = x^2 sin(x)

Шаг 3: Разделим уравнение на x и перенесём все слагаемые на одну сторону: xC'(x) - C(x)x - x^2 sin(x) = 0

Шаг 4: Теперь мы можем решить это уравнение относительно C'(x): C'(x) = (C(x)x + x^2 sin(x))/x

Шаг 5: Упростим выражение: C'(x) = C(x) + x sin(x)

Теперь у нас получилось дифференциальное уравнение для функции C(x). Мы можем решить его, используя различные методы, например, метод вариации постоянной или метод интегрирующего множителя.

Если вы хотите конкретное численное решение, пожалуйста, предоставьте начальное условие (значение y или y' при заданном x). Это позволит нам найти конкретное значение функции C(x) и, следовательно, решение уравнения.