Question

Исследуйте функцию и постройте её график.y=x^4+x^3-x^2

Answer 1

ДАНО: y(x) = x⁴ + x³ - x²

Думаем: Парабола четвёртой степени и немного кривая.

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

D(x) = (-∞;+∞)

2. Корни функции: х₁ = - 1,618, х₂ = х₃ = 0 и х₄ = 0,618.

Нахождение самих корней - без комментариев. ДВА корня равны 0..

3. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y>0  X∈(-∞;-1.618)∪(0.618;+∞) - вне корней.

Отрицательна: Y<0   X∈(-1.618;0,618) - между корней.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = 4*x³ +3*x² -2 = 0

.  Решалось по теореме Виета.

Точки экстремумов: x₅ = - 1,175, x₆ = 0, x₇ = 0,425

5 Локальные экстремумы:

Ymin(х₅=-1,175) = - 1,10   Ymax(х₆= 0 ) = 0, Ymin(x₇=0.425) = -0.07  

6. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;x₅=-1.175)∪(x₆=0;x₇=0.425)

Возрастает: Х∈(-1.175;0)∪(0.425;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = 12*x² +6х -2 = 0

. Парабола. D=132, √132≈ 11.5

x₈ =-0,73 и х₉ = 0.23 - точки перегиба.

8. Поведение функции.

Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;х8=-0,73)∪(х9=0,23;+∞) - вне корней параболы.

Выпуклая - "горка" - Х∈(х₈=-0,73);(х₉=0,23)) -между корнями параболы.

9. Область значений.

E(y) ={Ymin(x₅=-1.175);+∞}

10. Таблица с результатами в приложении.

11. Графики всех функций  на рисунке  в приложении.

Они, конечно , излишни, но наглядно показывают причины преобразования функции. Второй минимум показать конечно сложно.

Answer 2

Для исследования функции y = x^4 + x^3 - x^2, мы выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат.
2. Определим интервалы возрастания и убывания.
3. Найдем экстремумы функции (максимумы и минимумы).
4. Исследуем поведение функции около вертикальных асимптот.
5. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения с осями координат, решив уравнение y = 0: 0 = x^4 + x^3 - x^2 Преобразуем это уравнение:

x^4 + x^3 - x^2 = 0 x^2(x^2 + x - 1) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

1. x^2 = 0 => x = 0
2. x^2 + x - 1 = 0

Решим второе уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 41(-1) = 1 + 4 = 5

x = (-b ± √D) / 2a x = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, имеем два дополнительных корня: 3) x = (-1 + √5) / 2 ≈ 0.618

4. x = (-1 - √5) / 2 ≈ -1.618

Шаг 2: Найдем интервалы возрастания и убывания. Для этого найдем производную функции и решим неравенство f'(x) > 0 для интервалов возрастания и f'(x) < 0 для интервалов убывания.

f(x) = x^4 + x^3 - x^2

f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2x

Теперь решим неравенство:

4x^3 + 3x^2 - 2x > 0

x(4x^2 + 3x - 2) > 0

Решим уравнение 4x^2 + 3x - 2 = 0, чтобы найти критические точки.

D = 3^2 - 44(-2) = 9 + 32 = 41

x = (-3 ± √41) / 8

Критические точки: 5) x = (-3 + √41) / 8 ≈ 0.433

6. x = (-3 - √41) / 8 ≈ -1.183

Теперь построим таблицу знаков для интервалов:

Интервал	(-∞, -1.183)	(-1.183, 0)	(0, 0.433)	(0.433, ∞)
4x^3 + 3x^2 - 2x	-	+	+	+
f'(x) > 0		+	+	+
f'(x) < 0	-
y = x^4 + x^3 - x^2	↓	↑	↑	↑

Шаг 3: Найдем экстремумы функции (максимумы и минимумы). Экстремумы находятся в критических точках и на границах области определения функции.

Таким образом, максимум и минимум можно найти при значениях x = -1.183, x = 0.433, и x = ±∞ (на границах).

Шаг 4: Исследуем поведение функции около вертикальных асимптот. Поскольку у нас нет деления на x в функции, вертикальных асимптот нет.

Шаг 5: Построим график функции.

Для построения графика рассмотрим особенности функции:

1. Точки пересечения с осями координат: (0, 0), (-1.618, 0), (0.618, 0)
2. Экстремумы: (-1.183, -1.61), (0.433, -0.29)

Теперь построим график:

На графике видно, что функция имеет точки пересечения с осями координат и два экстремума. Отрицательный экстремум является локальным минимумом, а положительный - локальным максимумом. Также заметно, что функция стремится к бесконечности при приближении к бесконечности и минус бесконечности при приближении к минус бесконечности.