Question

Как это решить? 1.В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12 см. Найти катеты треугольника. 2.Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. ???

Answer 1

Ответ:

Задача 1:

По рисунку видно, что ВС - гипотенуза.

ВК = 12см,   КС = 5 см, ОК = ОТ = ОР = радиусы.

Свойства описанного прямоугольного треугольника твердят, что (по рисунку)

а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;

б) РВ = ВК = 12 см

с)  КС = ТС = 5 см

Пусть АР = АТ = х см, тогда  АВ = 12 + х,     АС = х + 5,   ВС = 12 + 5 = 17 см

Используем теорему Пифагора:

ВС² = АВ² + АС²

17² = (12 + х)² + (х + 5)²

289 = 144 + 24х + х² + х² + 10х + 25

2х² + 34х  - 120 = 0 скоротим на 2

х² + 17х  - 60 = 0

ищем дискриминантом

Д = 289 + 240 = 529 = 23²

х1 = 3  

х2 = -20 - не удовлетворяет.

АВ = 12 + 3 =15см

АС = 3 + 5 = 8см

Ответ: 15см, 8 см.

Задача 2:

Пусть АД - диаметр окружности, описанной около равнобелренной трапеции АБСД с основаниями АД = 12см и БС= 10 см.  СН - перпендикуляр, опущенный из вершины С на основание АД. Тогда:

АН=(АД+БС)/2= (12+10)/2=11 см

ДН=(АБ-БС)/2=(12-10)/2= 1 см

Точка С лежит на окружности с диаметром АД, значит угол АСД=90 градусов, поэтому СН высота прямоугольного треугольника АСД, проведенная из вершины прямого угла. Следовательно:

СД=ДН*АД=1*12=12см

АС=АН*АД=11*12=132 см

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности в прямоугольном треугольнике.

Пусть точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 5 и 12 см. Обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c.

Согласно свойству касательной, отрезки, проведенные от вершины прямого угла до точек касания, являются перпендикулярами к соответствующим катетам. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника: один с катетами a и 5 см, и другой с катетами b и 12 см.

Применим теорему Пифагора к обоим треугольникам:

a² + 5² = c² (уравнение 1) b² + 12² = c² (уравнение 2)

Также известно, что радиус вписанной окружности равен половине периметра прямоугольного треугольника, разделенного на полупериметр треугольника:

r = (a + 5 + 12) / 2 r = (b + 12 + 5) / 2

Решим уравнения 1 и 2 относительно a и b. Затем, найдя a и b, найдем гипотенузу c.

2. В этой задаче нам даны основания равнобедренной трапеции (10 и 12 см) и информация о центре описанной окружности, который находится на большем основании.

Обозначим боковую сторону равнобедренной трапеции как a, диагональ как d, а меньшее основание как b.

Известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании. Поэтому, если мы проведем радиусы окружности к основаниям трапеции, они будут перпендикулярны основаниям и пересекаться в центре окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, радиусом окружности и половиной боковой стороны равнобедренной трапеции. По теореме Пифагора:

(d/2)² + (a/2)² = r² (уравнение 1)

Также, согласно свойствам равнобедренной трапеции, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить a через b и d:

(b - a)² + (2a)² = d² (уравнение 2)

Решив уравнения 1 и 2 относительно d и a, мы найдем диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции.