Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=3x^2-x^3

Answer 1

Ответ:

========================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции y = 3x^2 - x^3 с помощью производной, мы сначала найдем производную функции, а затем проанализируем ее поведение и построим график.

1. Найдем производную функции y = 3x^2 - x^3: Для этого возьмем производные от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

dy/dx = d(3x^2)/dx - d(x^3)/dx

dy/dx = 6x - 3x^2

2. Теперь проанализируем поведение производной: Чтобы определить поведение функции, мы должны найти критические точки, где производная равна нулю или не существует, и проверить знак производной на разных интервалах.

dy/dx = 6x - 3x^2

6x - 3x^2 = 0

3x^2 - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 2 являются критическими точками.

Далее, проверим знак производной на разных интервалах:

1. Когда x < 0: Подставим x = -1 (любое значение меньше 0) в производную: dy/dx = 6(-1) - 3(-1)^2 dy/dx = -6 - 3 dy/dx = -9

Таким образом, на интервале (-∞, 0) производная отрицательна.

2. Когда 0 < x < 2: Подставим x = 1 (любое значение между 0 и 2) в производную: dy/dx = 6(1) - 3(1)^2 dy/dx = 6 - 3 dy/dx = 3

Таким образом, на интервале (0, 2) производная положительна.

3. Когда x > 2: Подставим x = 3 (любое значение больше 2) в производную: dy/dx = 6(3) - 3(3)^2 dy/dx = 18 - 27 dy/dx = -9

Таким образом, на интервале (2, ∞) производная отрицательна.

3. Построим график функции:

Теперь, используя производную и информацию о знаке производной на разных интервалах, мы можем нарисовать график функции y = 3x^2 - x^3.

Для этого я вычерчу график с помощью графической программы:

На графике видно, что функция проходит через точки (0, 0) и (2, 4) и имеет вершину максимума в точке (1, 2). При x < 0 и x > 2 функция убывает, а на интервале (0, 2) возрастает.

Это был краткий анализ функции y = 3x^2 - x^3 с использованием производной и построение ее графика.