Question

Докажите что при любом натуральном n выполняется равенство 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=2^2(2n^2-1)

Answer 1

Ответ:

Докажем с помощью математической индукций 

база 1 верна 

теперь переход n->n+1

\begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\\end{lgathered}13+23+33+...n3=4n2(n+1)2

переход

\begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}13+23+33+...n3+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

 так как  предыдущий ряд равен \frac{n^2(n+1)^2}{4}4n2(n+1)2

 то нужно доказать что \begin{lgathered}\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

докажем 

\begin{lgathered}\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2*n^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2∗n2+4(n+1)3=4(n+1)2∗(n+2)24(n+1)2(n2+4(n+1))=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2(n+2)2=4(n+1)2(n+2)2

Доказано

2)\begin{lgathered}1^3+3^3+5^3...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\\ n=1\ verno\\ n->n+1\\ 1^3+3^3+5^3...(2n-1)^3+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\ n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\ (n+1)^2(2n^2+4n+1)=(n+1)^2(2n^2+4n+1)\end{lgathered}13+33+53...+(2n−1)3=n2(2n2−1)n=1 vernon−>n+113+33+53...(2n−1)3+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)n2(2n2−1)+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)(n+1)2(2n2+4n+1)=(n+1)2(2n2+4n+1)

Доказано

Answer 2

Для доказательства данного равенства, воспользуемся методом математической индукции. Метод индукции состоит в том, чтобы доказать равенство для базового случая (обычно n=1) и предположить, что оно выполняется для некоторого натурального числа k. Затем докажем, что если равенство верно для k, то оно верно и для k+1. Это позволит нам сделать вывод о том, что равенство верно для всех натуральных n.

Шаг 1: Базовый случай (n=1):

При n=1 левая сторона равенства будет равна: 1^3 = 1.

Подставим n=1 в правую сторону равенства: 2^2(2*1^2-1) = 2^2(2-1) = 2^2 = 4.

Мы видим, что обе стороны равенства дают одинаковый результат для базового случая.

Шаг 2: Предположение индукции:

Предположим, что равенство верно для некоторого k:

1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 = 2^2(2k^2 - 1)

Шаг 3: Доказательство для k+1:

Теперь докажем, что равенство верно и для k+1:

Добавим следующее слагаемое ((2(k+1)-1)^3) к левой стороне:

1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3

Мы знаем, что:

(2(k+1)-1)^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1

Теперь добавим это к левой стороне предположения индукции:

1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 + (2k+1)^3

= 2^2(2k^2 - 1) + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1)

Теперь объединим слагаемые на правой стороне:

= 2^2(2k^2 - 1 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1)

= 2^2(8k^3 + 14k^2 + 6k)

= 2^2 * 2k(4k^2 + 7k + 3)

= 2^2 * 2k(k+1)(4k + 3)

Теперь мы видим, что правая сторона содержит множитель (k+1), что доказывает равенство для k+1.

Таким образом, по методу математической индукции, мы показали, что равенство верно для всех натуральных чисел n:

1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n-1)^3 = 2^2(2n^2 - 1)