Question

Доказать или опровергнуть утверждение: любое число можно разложить на простые множители.

Answer 1

Докажем существование разложения числа n на простые множители, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего n. Если n — простое, то существование доказано. Если n — составное, то оно может быть представлено в виде произведения двух чисел aи b, каждое из которых больше 1, но меньше n. Числа a и b либо являются простыми, либо могут быть разложены в произведение простых (уже доказано ранее). Подставив их разложение в n, получим разложение исходного числа n на простые. Существование доказано.

Answer 2

Утверждение, что любое число можно разложить на простые множители, является верным и известным как основная теорема арифметики. Эта теорема утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел, и это представление единственно с точностью до порядка множителей.

По основной теореме арифметики, каждое натуральное число n может быть разложено на простые множители следующим образом:

n = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 * ... * pm^km,

где p1, p2, ..., pm - различные простые числа, а k1, k2, ..., km - натуральные степени, причем степень k1 не равна нулю. Это разложение называется каноническим разложением числа n на простые множители.

Таким образом, утверждение верно, и любое число может быть разложено на простые множители.