Question

Здравствуйте, прошу помогите мне решить этот предел функции, буду признательна. lim x стремится к бесконечности (1+2/(5x-2))^(8x-5)

Answer 1

Ответ:

e^3,2

Пошаговое объяснение:

2/(5x+2)=1/y

5x+2=2y

x=0,4y-0,4

8x-5=3,2y-8,2

Выражение приобретает вид : ((1+1/y)^y)^3,2*(1+1/y)^(-8,2)

Предел равен пределу при у стремящмся к бесконечности

выражения ((1+1/y)^y)^3,2. Вспомнив, второй замечательный предел :

искомый предел равен e^3,2

Answer 2

Здравствуйте! Конечно, я помогу вам решить этот предел.

Для того чтобы решить предел, можно воспользоваться стандартным приёмом: привести функцию к более удобному виду для вычисления предела. Для этого можно воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями.

Давайте начнем:

Лимит функции lim(x -> ∞) (1 + 2/(5x - 2))^(8x - 5)

Для начала, давайте представим базу степени (1 + 2/(5x - 2))^(8x - 5) в виде экспоненциальной функции с логарифмом в основании:

= exp[(8x - 5) * ln(1 + 2/(5x - 2))]

Теперь, мы можем рассмотреть предел экспоненциальной функции при x стремящемся к бесконечности:

lim(x -> ∞) exp[(8x - 5) * ln(1 + 2/(5x - 2))]

Теперь у нас есть неопределенность вида ∞ * 0. Для решения этого типа неопределенности, можно воспользоваться теоремой Лопиталя. Она позволяет нам вычислить предел функции, когда как часть числителя, так и знаменатель стремятся к нулю или бесконечности.

Для этого, давайте найдем производную числителя и знаменателя и возьмем их отношение:

ln(1 + 2/(5x - 2)) = (1/(1 + 2/(5x - 2))) * (d/dx(1 + 2/(5x - 2)))

Теперь возьмем производную:

d/dx(1 + 2/(5x - 2)) = 0 - 2/(5x - 2)^2 * d/dx(5x - 2)

= - 2/(5x - 2)^2 * 5 = -10/(5x - 2)^2

Теперь подставим найденное значение производной в выражение для ln(1 + 2/(5x - 2)):

ln(1 + 2/(5x - 2)) = (1/(1 + 2/(5x - 2))) * (-10/(5x - 2)^2)

Теперь у нас есть выражение для ln(1 + 2/(5x - 2)). Теперь возьмем предел этого выражения при x стремящемся к бесконечности:

lim(x -> ∞) (1/(1 + 2/(5x - 2))) * (-10/(5x - 2)^2)

Теперь, как x стремится к бесконечности, заменим x в знаменателе на ∞:

= lim(x -> ∞) (1/(1 + 2/∞ - 2)) * (-10/(5∞ - 2)^2)

Так как 2/∞ равно 0 и 5∞ равно ∞, то у нас получается:

= (1/(1 + 0 - 2)) * (-10/∞)^2

= (1/(-1)) * 0

= 0

Таким образом, предел функции равен 0:

lim(x -> ∞) (1 + 2/(5x - 2))^(8x - 5) = 0