Question

50 балов! Найти производную функции по правилу логарифмического диференцирования: ^ - это степень f(x)=(ln(x))^ln(x)

Answer 1

Ответ:

смотри фото...........

Answer 2

Ответ:

${( ln(x) )}^{ ln(x) } (1 + ln( ln(x) ) \frac{1}{x}$

Пошаговое объяснение:

u(x)=ln(x)

поэтому

${f}^{l} (x) = {f}^{l} (u) {u}^{l} (x) = \\ = { ({u}^{u} )}^{l} \times \frac{1}{x} = { ({e}^{ ln(u) u} )}^{l} \frac{1}{x} = \\ = {e}^{ ln(u) u}(u \frac{1}{u} + ln(u) ) \times \frac{1}{x} = \\ = {u}^{u} (1 + ln(u) ) \times \frac{1}{x}$

подставляя u(x) получаем

${f}^{l} (x) = {( ln(x) )}^{ ln(x) } (1 + ln( ln(x) ) \frac{1}{x}$

Answer 3

Чтобы найти производную функции f(x) = (ln(x))^ln(x) по правилу логарифмического дифференцирования, воспользуемся следующими шагами:

1. Перепишем функцию с использованием экспоненты, чтобы избавиться от степени: f(x) = e^(ln(x) * ln(ln(x)))

2. Применим правило логарифмического дифференцирования, которое гласит: d/dx [e^(u(x))] = u'(x) * e^(u(x)), где u(x) - некоторая функция от x.

3. Найдем производную ln(x) и ln(ln(x)):

   d/dx [ln(x)] = 1/x

   d/dx [ln(ln(x))] = (1/ln(x)) * (1/x) = 1/(x * ln(x))

4. Теперь возьмем производную функции f(x) по x:

   f'(x) = d/dx [e^(ln(x) * ln(ln(x)))] = (1/x) * e^(ln(x) * ln(ln(x))) + (ln(1/x) * 1/(x * ln(x))) * e^(ln(x) * ln(ln(x)))

5. Упростим выражение: Заметим, что e^(ln(x) * ln(ln(x))) равно самому x: e^(ln(x) * ln(ln(x))) = x

   f'(x) = (1/x) * x + (ln(1/x) * 1/(x * ln(x))) * x = 1 + (-ln(x)/x * 1/(x * ln(x))) * x = 1 - 1/x

Таким образом, производная функции f(x) = (ln(x))^ln(x) равна f'(x) = 1 - 1/x.