Question

Существует ли натуральное число n такое что выражение n^2+6n+2019 делится на 100?

Answer 1

Ответ:

не существует

Пошаговое объяснение:

${n}^{2} + 6n + 2019 = \\ ( {n}^{2} + 6n + 9) + 2010 = \\ {(n + 3)}^{2} + 2010$

как мы видим, что

${(n + 3)}^{2} + 2010 > 0$

при любых n. Поэтому многочлен не может быть представлен в виде произведения и деление на 100 предполагается только в том случае если сумма будет образовывать число с двумя нулями в конце, а это значит, что

${(n + 3)}^{2}$

должен заканчиваться на 90, что невозможно, так как квадрат натурального числа, которое содержит один из множителей 10 заканчивается только на два нуля.

Answer 2

Для выяснения, существует ли натуральное число n, при котором выражение n^2 + 6n + 2019 делится на 100, нам нужно решить данное уравнение в целых числах.

Исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

n^2 + 6n + 2019 ≡ 0 (mod 100)

Уравнение n^2 + 6n + 2019 ≡ 0 (mod 100) означает, что остаток от деления (n^2 + 6n + 2019) на 100 равен 0. Это можно переписать как:

(n^2 + 6n + 2019) % 100 = 0

Для нахождения натурального числа n, удовлетворяющего этому условию, мы можем перебирать натуральные числа и проверять каждое из них.

Однако, чтобы упростить задачу, можно заметить, что 2019 - это нечетное число. Поскольку n^2 + 6n является четным числом для любого натурального числа n, чтобы общая сумма (n^2 + 6n + 2019) была четной, необходимо, чтобы 2019 также было четным числом.

Так как 2019 нечетное, это означает, что уравнение не имеет решений в натуральных числах, для которых (n^2 + 6n + 2019) делится на 100.