Question

Yy'/x+e^y=0; y(1)=0дифференциальное уравнение сроооооооооочно 40 баллов​

Answer 1

yy' + x*e^y = 0

yy' = -x*e^y

ydy/(e^y) = -xdx

Осталось проинтегрировать.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка мы можем использовать метод разделения переменных. Позвольте мне показать вам шаги решения.

Исходное уравнение: yy'/x + e^y = 0

1. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби: y * y' + x * e^y = 0

2. Перенесем слагаемое y * y' на другую сторону уравнения: y * y' = -x * e^y

3. Разделим обе части на y * e^y: (y * y') / (y * e^y) = -x

4. Упростим выражение: y' / e^y = -x

5. Проинтегрируем обе части уравнения по переменной y: ∫(y' / e^y) dy = ∫(-x) dx

6. Интегрирование левой части: ∫(y' / e^y) dy = ∫e^(-y) dy = -e^(-y)

7. Интегрирование правой части: ∫(-x) dx = -0.5x^2 + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

8. Теперь у нас получилось: -e^(-y) = -0.5x^2 + C

9. Используя начальное условие y(1) = 0, мы можем найти значение постоянной C: -e^(-0) = -0.5(1)^2 + C -1 = -0.5 + C C = -0.5

10. Подставим значение C в уравнение: -e^(-y) = -0.5x^2 - 0.5

11. Чтобы найти y, возьмем экспоненту от обеих сторон: e^(-y) = 0.5x^2 + 0.5

12. Возьмем обратное значение от обеих сторон: e^y = 1 / (0.5x^2 + 0.5)

13. Наконец, возьмем натуральный логарифм от обеих сторон: y = ln(1 / (0.5x^2 + 0.5))

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения с начальным условием y(1) = 0 является y = ln(1 / (0.5x^2 + 0.5)).