Question

Числа от 1 до 100 выписаны в строчку. Инна и Нонна по очереди расставляют между числами знаки действий: плюс или минус. После того как все знаки расставлены, вычисляют значение полученного выражения. Если получили чётное число, то выигрывает первый игрок, если нечётное — второй игрок. Кто из игроков выиграет в этой игре, если Инна начинает первой игру?

Answer 1

Ответ:

Первый игрок - Инна.

Пошаговое объяснение:

Вне зависимости от расстановки знаков в итоге значение выражения получится четным, поэтому всегда будет выигрывать первый игрок. Докажем это.

Будем рассматривать все возможные суммы из первых k чисел с произвольными знаками.

При k = 1 это {1}

При k = 2 это {1-2, 1+2} = {-1, 3}

При k = 3 это {-1-3, -1+3, 3-3, 3+3} = {-4, 0, 2, 6}

Видим, что четность чисел в множестве для фиксированных первых k одинаковая. Тогда очевидно, что если формировать множество для последовательности чисел длины k+1, то также получится множество с числами одинаковой четности. Объясняется это тем, что если взять конкретное число x, вычислить сумму и разность с некоторым y, то получатся два числа x-y и x+y одинаковой четности, так как (x+y) - (x-y) = 2y - четное.

Поэтому чтобы определить четность выражения из 100 элементов 1...100 с произвольными знаками, достаточно взять сумму с плюсами - она будет иметь ту же четность, что и любая другая сумма. (1+100)/2*100 = 5050 - четное число, поэтому побеждает всегда первый игрок.

Answer 2

Чтобы определить, кто из игроков выиграет в этой игре, нужно рассмотреть стратегию каждого игрока и проанализировать, как они могут влиять на четность или нечетность выражения.

Посмотрим на первые несколько чисел и их четность: 1 - нечетное 2 - четное 3 - нечетное 4 - четное 5 - нечетное 6 - четное

Мы можем заметить закономерность: каждое четное число следует за нечетным числом, и каждое нечетное число следует за четным числом.

Инна начинает первой игру, поэтому она может контролировать четность первого числа в выражении.

• Если Инна поставит перед первым числом знак "+", она сделает его четным.
• Если Инна поставит перед первым числом знак "-", она сделает его нечетным.

Рассмотрим оба случая:

1. Инна начинает с знака "+". Тогда она может повторять свою стратегию, всегда ставя перед каждым нечетным числом знак "+". Таким образом, она гарантированно сделает все числа четными. Значит, результат всегда будет четным числом, и выигрыш достанется Инне.

2. Инна начинает с знака "-". В этом случае она сделает первое число нечетным, и Нонна, следующая за ней, сделает следующее число четным, и так далее. Таким образом, каждый раз, когда приходит очередь Нонны, она может просто повторить ход Инны, т.е. сделать следующее число четным. Значит, результат всегда будет нечетным числом, и выигрыш достанется Нонне.

Итак, если Инна начинает первой игру и применяет оптимальную стратегию, то она всегда выигрывает, получая четное число в результате.