Question

Докажите что составным числом является:1) 111 111 111,2) 111...1 (2019 единиц в записи числа)

Answer 1

Ответ:

И в первом и втором случае сумма цифр всего числа делится на 3 => числа можно представить в виде a*3

Answer 2

1. Чтобы доказать, что число 111 111 111 является составным числом, нам необходимо найти делитель этого числа, отличный от 1 и самого числа.

111 111 111 можно представить как 111 111 * 1 000 + 111, где 111 111 является числом, состоящим из шести единиц, а 1 000 - тысячей.

Заметим, что число 111 111 является делителем числа 111 111 111:

111 111 111 ÷ 111 111 = 1 000.

Таким образом, число 111 111 111 делится на 111 111 без остатка. Это означает, что 111 111 111 является составным числом.

2. Чтобы доказать, что число, состоящее из 2019 единиц (111...1), является составным числом, нам необходимо найти делитель этого числа, отличный от 1 и самого числа.

Давайте рассмотрим число, состоящее из двух единиц (11). Это число делится на 11 без остатка.

11 ÷ 11 = 1.

Мы можем использовать это свойство, чтобы найти делитель числа, состоящего из 2019 единиц. Поскольку 2019 делится на 2 (2019 = 11 * 183), мы можем разбить число на блоки из двух единиц и применить деление на 11:

111...1 = 11 * 10^2018 + 11 * 10^2016 + ... + 11 * 10^2 + 11 * 10^0.

После факторизации чисел вида 10^k, мы можем вынести 11 за скобки:

111...1 = 11 * (10^2018 + 10^2016 + ... + 10^2 + 10^0).

Видно, что внутри скобок получается сумма четного числа одинаковых слагаемых, что делает эту сумму четной. Таким образом, число 111...1 также делится на 11 без остатка и является составным числом.

Таким образом, и число 111...1 (с 2019 единицами) является составным числом.