Question

Решите дифференциальное уравнение второго порядка подробно для частного случая: y''+12*y'+2*y=e^x

Answer 1

$\displaystyle y''+12y'+2y=e^x\\k^2+12k+2=0\\k_{1,2}=-6^+_-\sqrt{36-2}=-6^+_-\sqrt{34}\\Y=C_1e^{(-6+\sqrt{34})x}+C_2e^{(-6-\sqrt{34})x}\\\hat{y}=Ae^{x}\\\hat{y}'=Ae^{x}\\\hat{y}''=Ae^{x}\\Ae^{x}+12Ae^{x}+2Ae^{x}=e^x\\15A=1\\A=\frac{1}{15}\\\hat{y}=\frac{1}{15}e^{x}\\y=C_1e^{(-6+\sqrt{34})x}+C_2e^{(-6-\sqrt{34})x}+\frac{1}{15}e^x$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, сначала найдем его характеристическое уравнение. После этого, мы найдем общее решение однородной части уравнения, а затем будем искать частное решение для неоднородной части с помощью метода вариации произвольных постоянных.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: y'' + 12y' + 2y = e^x

Шаг 1: Характеристическое уравнение однородной части Для однородной части уравнения (e^x отсутствует), характеристическое уравнение имеет вид: r^2 + 12r + 2 = 0

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения Решим квадратное уравнение r^2 + 12r + 2 = 0:

Дискриминант (D) квадратного уравнения d = b^2 - 4ac где a = 1, b = 12, c = 2.

D = 12^2 - 4 * 1 * 2 = 144 - 8 = 136.

Корни уравнения находим с помощью формулы: r = (-b ± √D) / 2a

r = (-12 ± √136) / 2

Таким образом, получаем два корня: r1 = (-12 + √136) / 2 ≈ -5.66 r2 = (-12 - √136) / 2 ≈ -6.34

Шаг 3: Общее решение однородной части Общее решение однородной части имеет вид: y_h(x) = c1 * e^(r1 * x) + c2 * e^(r2 * x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые будут определены из начальных условий, если таковые имеются.

Шаг 4: Частное решение неоднородной части Для нахождения частного решения неоднородной части (e^x), воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Поскольку правая часть уравнения e^x представляет собой показательную функцию, предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = A * e^x,

где A - неизвестная постоянная, которую необходимо найти.

Подставим это предположение в исходное дифференциальное уравнение и найдем A: y_p'' + 12y_p' + 2y_p = A * e^x + 12A * e^x + 2A * e^x

y_p'' + 12y_p' + 2y_p = (A + 12A + 2A) * e^x = 15A * e^x

Получили, что 15A * e^x должно быть равно e^x (правая часть исходного уравнения). Следовательно, A = 1/15.

Шаг 5: Частное решение неоднородной части Теперь, зная A, можем записать частное решение: y_p(x) = (1/15) * e^x

Шаг 6: Общее решение Общее решение исходного уравнения состоит из общего решения однородной части и частного решения неоднородной части: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(r1 * x) + c2 * e^(r2 * x) + (1/15) * e^x.

Где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий или граничных условий, если таковые имеются.