Question

Написать уравнение косательной и нормали 9х^2+5y^2+20y-70=0 в точке M(квадратный корень5 ; 1)

Answer 1

Ответ:

$y = - \frac{3 \sqrt{5} }{5} x + 4$

Пошаговое объяснение:

Дифференцируем функцию неявно:

$9 \times 2x + 5 \times 2y \times {y}^{.} + 20 {y}^{.} = 0 \\ {y}^{.} (10y + 20) = - 18x \\ {y}^{.} = \frac{ - 18x}{10y + 20}$

в точке М:

${y}^{.} ( \sqrt{5} ; 1) = \frac{ - 18 \times \sqrt{5} }{10 \times 1 + 20} = - \frac{3 \sqrt{5} }{5}$

отсюда уравнение касательной:

$y - 1 = - \frac{3 \sqrt{5} }{5} (x - \sqrt{5} ) \\ y = - \frac{3 \sqrt{5} }{5} x + 4$

Answer 2

Чтобы найти уравнения касательной и нормали к кривой 9x^2 + 5y^2 + 20y - 70 = 0 в точке M(√5, 1), мы должны найти производные функции, задающей данную кривую, и использовать их для определения угловых коэффициентов касательной и нормали в данной точке.

Данное уравнение представляет собой уравнение эллипса. Чтобы найти его производные, возьмем явные производные по x и y:

d/dx (9x^2 + 5y^2 + 20y - 70) = 18x d/dy (9x^2 + 5y^2 + 20y - 70) = 10y + 20

Теперь подставим координаты точки M(√5, 1) в полученные производные:

d/dx (9(√5)^2 + 5(1)^2 + 20(1) - 70) = 18√5 d/dy (9(√5)^2 + 5(1)^2 + 20(1) - 70) = 10(1) + 20 = 30

Угловой коэффициент касательной в точке M равен отношению производной по y к производной по x:

m_t = -1 / (30 / (18√5)) = -√5 / 5

Угловой коэффициент нормали в точке M является обратным к угловому коэффициенту касательной:

m_n = -1 / m_t = -1 / (-√5 / 5) = √5 / 5

Теперь, используя найденные угловые коэффициенты и координаты точки M, мы можем записать уравнения касательной и нормали в точке M:

Уравнение касательной: y - y₁ = m_t(x - x₁) y - 1 = (-√5 / 5)(x - √5)

Уравнение нормали: y - y₁ = m_n(x - x₁) y - 1 = (√5 / 5)(x - √5)

Таким образом, уравнение касательной в точке M(√5, 1) равно y - 1 = (-√5 / 5)(x - √5), а уравнение нормали равно y - 1 = (√5 / 5)(x - √5).