Question

Упростите выражение: sin(α + 30) cos(α − 30) − cos(α + 30) sin(α − 30)

Answer 1

$\displaystyle sin(a + 30) cos(a - 30) - cos(a + 30) sin(a - 30)=sin(a+30-a+30)=\\=sin60=\frac{\sqrt3}{2}\\\\\\sinxcosy-cosxsiny=sin(x-y)$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами тригонометрии.

1. По формуле суммы углов для синуса: sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
2. По формуле разности углов для синуса: sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
3. По формуле суммы углов для косинуса: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
4. По формуле разности углов для косинуса: cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

Применяя эти формулы, получим:

sin(α + 30) cos(α - 30) - cos(α + 30) sin(α - 30) = (sinαcos30 + cosαsin30)(cosαcos30 - sinαsin30) - (cosαcos30 + sinαsin30)(sinαcos30 - cosαsin30)

Теперь упростим:

(sinαcos30 + cosαsin30)(cosαcos30 - sinαsin30) - (cosαcos30 + sinαsin30)(sinαcos30 - cosαsin30) = sinαcosαcos^2(30) - sinαcosαsin^2(30) - cosαsinαcos^2(30) + cosαsinαsin^2(30)

• cosαcosαsin^2(30) + cosαcosαcos^2(30) + sinαsinαsin^2(30) - sinαsinαcos^2(30)

Здесь можно заметить, что sin^2(30) = (1/2)^2 = 1/4 и cos^2(30) = (sqrt(3)/2)^2 = 3/4. Подставим значения:

= sinαcosα(3/4) - sinαcosα(1/4) - cosαsinα(3/4) + cosαsinα(1/4)

• cosαcosα(1/4) + cosαcosα(3/4) + sinαsinα(1/4) - sinαsinα(3/4)

Далее упростим выражение:

= (3/4)(sinαcosα - sinαcosα) + (1/4)(cosαsinα - cosαsinα) + (3/4)(cosαcosα - cosαcosα) + (1/4)(sinαsinα - sinαsinα) = 0

Таким образом, упрощенное выражение равно 0.