Question

Решить дифференциальное уравнение:y''+6y'+10y=0 при y(0)=2 ; y'(0)=1​

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант; оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, нам понадобится характеристическое уравнение, которое мы можем получить, предполагая решение в виде y = e^(rt). Затем мы найдем общее решение и воспользуемся начальными условиями, чтобы найти конкретное решение.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение. Подставим y = e^(rt) в дифференциальное уравнение: r^2 e^(rt) + 6r e^(rt) + 10e^(rt) = 0 e^(rt) (r^2 + 6r + 10) = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение. r^2 + 6r + 10 = 0 Используя квадратное уравнение, найдем значения r: r = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * 10)) / (2 * 1) r = (-6 ± √(-4)) / 2 r = (-6 ± 2i) / 2 r = -3 ± i2

Таким образом, у нас есть комплексные корни: r1 = -3 + 2i и r2 = -3 - 2i.

Шаг 3: Найдем общее решение. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = C1 e^(r1t) + C2 e^(r2t)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 4: Найдем значения C1 и C2 с использованием начальных условий. Известно, что y(0) = 2 и y'(0) = 1.

y(0) = C1 e^(r1 * 0) + C2 e^(r2 * 0) = C1 + C2 = 2 (уравнение 1) y'(0) = C1 r1 e^(r1 * 0) + C2 r2 e^(r2 * 0) = C1 r1 + C2 r2 = 1 (уравнение 2)

Подставим значения r1 = -3 + 2i и r2 = -3 - 2i в уравнения 1 и 2: C1 + C2 = 2 C1(-3 + 2i) + C2(-3 - 2i) = 1

Решая эти уравнения, мы найдем значения C1 и C2.

Шаг 5: Найдем частное решение. Подставим значения C1 и C2 в общее решение: y(t) = C1 e^((-3 + 2i)t) + C2 e^((-3 - 2i)t)

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения является функция: y(t) = C1 e^((-3 + 2i)t) + C2 e^((-3 - 2i)t), где C1 и C2 - найденные значения.