Question

Даны комплексные числа: z₁=5+10j, z₂=2-j Найти: a) сумму б) разность в) произведение г) частное

Answer 1

Ответ:

$z_1 + z_2 = 7 + 9i\\z_1 - z_2 = 3 + 11i\\z_1 * z_2 = 2 * 5 - 10 * (-1) + (-1 * 5 + 2 * 10)i = 20 + 15i\\\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 * z_2^{-1}}{1} = z1 * (\frac{2}{5} + \frac{i}{5}) = 5i$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать арифметические операции с комплексными числами. Давайте посчитаем каждое из заданных действий:

a) Сумма: Чтобы найти сумму комплексных чисел z₁ и z₂, нужно сложить их действительные и мнимые части отдельно. Таким образом: z₁ + z₂ = (5 + 10j) + (2 - j)

Складывая действительные части (5 и 2), получаем 5 + 2 = 7. Складывая мнимые части (10j и -j), получаем 10j - j = 9j.

Таким образом, сумма комплексных чисел z₁ и z₂ равна 7 + 9j.

b) Разность: Чтобы найти разность комплексных чисел z₁ и z₂, нужно вычесть их действительные и мнимые части отдельно. Таким образом: z₁ - z₂ = (5 + 10j) - (2 - j)

Вычитая действительные части (5 и 2), получаем 5 - 2 = 3. Вычитая мнимые части (10j и -j), получаем 10j + j = 11j.

Таким образом, разность комплексных чисел z₁ и z₂ равна 3 + 11j.

в) Произведение: Чтобы найти произведение комплексных чисел z₁ и z₂, можно использовать формулу: z₁ * z₂ = (5 + 10j) * (2 - j)

Раскрывая скобки и используя свойства мнимых единиц, получаем: z₁ * z₂ = 5 * 2 + 5 * (-j) + 10j * 2 + 10j * (-j) = 10 - 5j + 20j - 10j²

Поскольку j² равно -1, можно упростить это выражение: z₁ * z₂ = 10 - 5j + 20j + 10 = 20 + 15j.

Таким образом, произведение комплексных чисел z₁ и z₂ равно 20 + 15j.

г) Частное: Чтобы найти частное комплексных чисел z₁ и z₂, нужно разделить их с использованием формулы: z₁ / z₂ = (5 + 10j) / (2 - j)

Чтобы избавиться от деления с комплексным числом в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя: z₁ / z₂ = (5 + 10j) * (2 + j) / ((2 - j) * (2 + j))

Раскрывая скобки, получаем: z₁ / z₂ = (5 * 2 + 5 * j + 10j * 2 + 10j * j) / (2 * 2 + 2 * j - j * 2 - j * j) = (10 + 5j + 20j - 10) / (4 - 2j + 2j + 1) = (5j + 10j) / 5 = 3j.

Таким образом, частное комплексных чисел z₁ и z₂ равно 3j.