Question

Решить диф. ур. (dy/dx)=(xy*cos(x))/(1+y^2)

Answer 1

$\frac{ dy}{dx} =\frac{xycosx}{1+y^2}$

-- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:

$\frac{1+y^2}{y}dy=xcosxdx$

-- уравнение с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения:

$\int\frac{1+y^2}{y}dy=\int xcosxdx$

Вычислим записанные интегралы:

$\int\frac{1+y^2}{y}dy=\int(\frac{1}{y}+y)dy=ln|y|+\frac{y^2}{2}+C_1$

$\int xcosxdx=[u=x, du=dx; dv=cosxdx, v=sinx]=\\=xsinx-\int sinxdx=xsinx+cosx+C_2$

Получаем

$ln|y|+\frac{y^2}{2}+C_1=xsinx+cosx+C_2\\ ln|y|+\frac{y^2}{2}=xsinx+cosx+C$

- общий интеграл данного уравнения, где $C=C_2-C_1$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно воспользоваться методом разделения переменных.

1. Разделим переменные, переместив все y-термы в левую часть уравнения, а x-термы в правую часть:

(1+y^2) dy = xy * cos(x) dx

2. Разделим обе части на (1+y^2) и dx:

dy / (1+y^2) = x * cos(x) dx

3. Проинтегрируем обе части уравнения. Для левой части используем замену переменной y = tan(θ), а для правой части воспользуемся методом интегрирования по частям:

∫(1/(1+y^2)) dy = ∫x * cos(x) dx

∫(1/(1+tan^2(θ))) dθ = ∫x * cos(x) dx

∫(cos^2(θ)/sin^2(θ)+cos^2(θ)) dθ = ∫x * cos(x) dx

4. Проинтегрируем левую часть:

∫(cos^2(θ)/sin^2(θ)+cos^2(θ)) dθ = ∫x * cos(x) dx

∫(1/sin^2(θ)) dθ = ∫x * cos(x) dx

• cot(θ) = ∫x * cos(x) dx

5. Проинтегрируем правую часть:

• cot(θ) = ∫x * cos(x) dx

Проинтегрируем по частям, выбрав u = x и dv = cos(x) dx:

• cot(θ) = x * sin(x) - ∫sin(x) dx

• cot(θ) = x * sin(x) + cos(x) + C1

Где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

6. Вернемся к замене переменной y = tan(θ):

• cot(θ) = x * sin(x) + cos(x) + C1

• cos(θ)/sin(θ) = x * sin(x) + cos(x) + C1

cos(θ) = (x * sin(x) + cos(x) + C1) * sin(θ)

7. Используем соотношение cos(θ) = 1 / sqrt(1 + tan^2(θ)) = 1 / sqrt(1 + y^2):

1 / sqrt(1 + y^2) = (x * sin(x) + cos(x) + C1) * sin(θ)

1 / sqrt(1 + y^2) = (x * sin(x) + cos(x) + C1) * y / sqrt(1 + y^2)

1 = (x * sin(x) + cos(x) + C1) * y

Это является общим решением дифференциального уравнения (dy/dx) = (xy * cos(x))/(1 + y^2). Здесь C1 - произвольная постоянная.