Question

Докажите тождество: (1 - cos^2a)(1 + tg^2a) = tg^2a

Answer 1

Ответ:

$(1 - \cos ^{2} \alpha )(1 + \tg^{2} \alpha ) = \\ = \sin ^{2} \alpha \times (1 + \frac{sin ^{2} \alpha}{ \cos ^{2} \alpha } ) = \\ = \sin ^{2} \alpha \times ( \frac{cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha}{ \cos ^{2} \alpha } ) = \\ = \frac{sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha } = \tg ^{2} \alpha$

Пошаговое объяснение:

здесь используется

основное тригонометрическое тождество

sin²a+cos²a=1, откуда 1-cos²a=sin²a

и

определение тангенса

tga=sina/cosa

Answer 2

Давайте докажем данное тождество, используя тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны:

(1 - cos^2a)(1 + tg^2a)

Используем тригонометрическое тождество: 1 + tg^2a = sec^2a

(1 - cos^2a)(sec^2a)

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством: 1 - cos^2a = sin^2a

(sin^2a)(sec^2a)

Мы знаем, что sec^2a = 1/cos^2a, поэтому можем заменить sec^2a в выражении:

(sin^2a)(1/cos^2a)

Поскольку tg^2a = sin^2a/cos^2a, мы можем заменить sin^2a в числителе на tg^2a:

(tg^2a)(1/cos^2a)

Мы можем переписать 1/cos^2a как cos^(-2)a:

tg^2a * cos^(-2)a

Используем свойство tg^2a = 1/cos^2a:

1/cos^2a * cos^(-2)a

По свойству cos^(-n)a = 1/cos^n a, мы можем переписать cos^(-2)a как 1/cos^2a:

1/cos^2a * 1/cos^2a

Это равносильно (1/cos^2a)^2, что равно tg^2a^2.

Таким образом, левая сторона становится:

tg^2a^2

Так как a является произвольным углом, можно записать a^2 как a. Поэтому левая сторона равна:

tg^2a

Это и есть правая сторона, что доказывает исходное тождество:

(1 - cos^2a)(1 + tg^2a) = tg^2a