Question

На плоскости даны прямая L: Ax+By-C=0 и точки M0(x0; y0) и M1 (x1;y1). Требуется: а) составить уравнение прямой s, проходящей через точки M0 и M1; b) Найти точку пересечения прямых L и s; c) Найти угол между прямыми L и s. Сделать чертёж. Дано: L: 3x-4y+5=0 M0 (7;3);M1(-3;8)

Answer 1

Дано: L: 3x-4y+5=0. M0 (7;3); M1(-3;8).

а) Находим уравнение прямой М0М1.

Вектор М0М1 = (-10; 5), его модуль равен √( 100+25) = √125 = 5√5.

Уравнение прямой s, проходящей через точки M0 и M1:

(х - 7)/(-10) = (у - 3)/5. Оно же в общем виде 5х + 10у - 65 = 0   или после сокращения х + 2у - 13 = 0.

б) Точку пересечения прямых L и s ищем путём решения системы:

3x - 4y + 5 = 0,              3x - 4y + 5 = 0,  

х + 2у - 13 = 0| x 2         2х + 4у - 26 = 0  

                                      5x         - 21 = 0,    x = 21/5 = 4,2.

y = (13 - x)/2 = (13 - (21/5))/2 = 4,4.

Точка К (4,2; 4,4).

в) Угол между прямыми L и s.

Вектор М0М1 = (-10; 5).

Вектор прямой  L: 3x-4y+5=0 равен (3; -4).Его модуль √(9 + 16) = 5.

cos A = |(-10*3 + 5*(-4))|/(5√5*5) = 50/(25√5) =  2/√5 ≈ 0,89443.

A = arc cos (2/√5) = 0,46365 радиан или 26,565 градуса.

Answer 2

Для начала составим уравнение прямой s, проходящей через точки M0(x0; y0) и M1(x1; y1):

1. Найдем угловой коэффициент прямой s (k):

   k = (y1 - y0) / (x1 - x0)

   k = (8 - 3) / (-3 - 7) = 5 / (-10) = -1/2

2. Теперь найдем свободный коэффициент b прямой s, зная одну из точек (например, M0):

   b = y0 - k * x0

   b = 3 - (-1/2) * 7 = 3 + 7/2 = 17/2

   Таким образом, уравнение прямой s будет иметь вид:

   s: y = (-1/2)x + 17/2

Теперь найдем точку пересечения прямых L и s:

3. Для этого подставим уравнение прямой L в уравнение прямой s и решим полученное уравнение относительно x:

   Ax + By - C = 0

   (-1/2)x + 17/2 = 3x - 4y + 5

   (-1/2)x - 3x = 4y - 17/2 - 5

   (-7/2)x = 4y - 17/2 - 10/2

   (-7/2)x = 4y - 27/2

   7x = -8y + 27

   x = (-8y + 27) / 7

4. Теперь подставим найденное значение x в уравнение прямой L:

   A((-8y + 27) / 7) + By - C = 0

   A(-8y + 27) + 7By - 7C = 0

   -8Ay + 27A + 7By - 7C = 0

   -8Ay + 7By = 7C - 27A

   y(-8A + 7B) = 7C - 27A

   y = (7C - 27A) / (-8A + 7B)

   Таким образом, мы нашли значение y.

5. Подставим найденные значения x и y обратно в уравнение прямой s, чтобы получить координаты точки пересечения:

   x = (-8y + 27) / 7

   y = (7C - 27A) / (-8A + 7B)

Теперь найдем угол между прямыми L и s:

6. Угловой коэффициент прямой L (k_L) равен коэффициенту при x:

   k_L = -A / B

7. Угловой коэффициент прямой s (k_s) равен -1/2 (мы уже вычислили его ранее).

8. Угол между прямыми L и s можно найти, используя формулу:

   tan(θ) = |(k_L - k_s) / (1 + k_L * k_s)|

   θ = arctan(|(k_L - k_s) / (1 + k_L * k_s)|)

   Подставим значения k_L и k_s и решим уравнение, чтобы найти угол θ.

   θ = arctan(|(-A / B) - (-1/2)| / (1 + (-A / B) * (-1/2)))

   θ = arctan(|(-2A + B) / (2B)|)

   Таким образом, мы нашли значение угла θ.

Теперь мы можем составить чертеж, используя найденные значения.