Question

Вычислить двойной интеграл f(x,y) dxdy d: x-y+2=0 x+y-2=0 y=0 и расставить пределы двумя способами

Answer 1

Ответ:

4.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления двойного интеграла функции f(x, y) на заданной области D, нужно расставить пределы интегрирования в соответствии с границами области D.

Область D определяется пересечением трех плоскостей:

1. x - y + 2 = 0 (первое уравнение)
2. x + y - 2 = 0 (второе уравнение)
3. y = 0 (третье уравнение)

Способ 1: Использование переменных x и y

Шаг 1: Найдем точки пересечения плоскостей: Из уравнения (1): x - y + 2 = 0 => x = y - 2 Из уравнения (2): x + y - 2 = 0 => x = 2 - y

Теперь приравняем эти два значения x: y - 2 = 2 - y 2y = 4 y = 2

Теперь найдем соответствующее значение x: x = 2 - y = 2 - 2 = 0

Таким образом, точка пересечения трех плоскостей: P(0, 2).

Шаг 2: Определим пределы интегрирования для x и y:

Для переменной x: она изменяется от значения 0 (точка пересечения) до значения, полученного из уравнения плоскости (2), т.е., до x = 2 - y.

Для переменной y: она изменяется от значения 0 (условие y = 0) до значения, полученного из уравнения плоскости (1), т.е., до y = x - 2.

Теперь двойной интеграл имеет следующий вид:

∬[D] f(x, y) dxdy = ∫[0 to 2] ∫[0 to 2-x] f(x, y) dy dx

Способ 2: Использование переменных u и v

Шаг 1: Перейдем к новым переменным u и v через следующие преобразования: u = x - y + 2 v = x + y - 2

Шаг 2: Найдем пределы интегрирования для новых переменных u и v:

Для переменной u: она изменяется от точки пересечения плоскостей (0, 0) до значения u = x - y + 2 (плоскость x - y + 2 = 0).

Для переменной v: она изменяется от точки пересечения плоскостей (0, 0) до значения v = x + y - 2 (плоскость x + y - 2 = 0).

Теперь двойной интеграл имеет следующий вид:

∬[D] f(x, y) dxdy = ∫[0 to u] ∫[0 to v] g(u, v) dv du

где g(u, v) - якобиан преобразования, равный 1 в данном случае (подробности опущены для краткости).

Оба способа дают один и тот же результат, и вы можете выбрать любой из них для вычисления двойного интеграла функции f(x, y) на области D.