Question

9. В треугольнике ABC проведена медиана BD, причем отрезок AD = BD. Доказать что треугольник ABC является прямоугольным 10. На стороне AB квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ABM. Найдите угол DMC при условии, что точка M расположена а) вне квадрата б) внутри квадрата

Answer 1

Ответ:

30° или 150°

Пошаговое объяснение:

Решение

 Пусть точка M расположена вне квадрата ABCD. Тогда угол при вершине A равнобедренного треугольника DAM равен 90° + 60° = 150°,  поэтому

∠AMD = (180° – 150°) : 2 = 15°.

 Аналогично  ∠BMC = 15°.  Следовательно,  ∠DMC = 60° – 15° – 15° = 30°.

 Если точка M расположена внутри данного квадрата, то аналогично находим, что  ∠DMC = 150°.

Answer 2

9. Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно показать, что угол BAC равен 90 градусам.

Поскольку BD - медиана, она делит сторону AC пополам. Пусть точка E - середина стороны AC, то есть AE = EC.

Также известно, что AD = BD. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным, и у него две равные стороны: AD и BD.

Поскольку точка E - середина стороны AC, то она также является серединой гипотенузы треугольника ABD.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что медиана, проведенная к основанию, является высотой и делит угол при вершине на два равных угла. Поэтому угол BAD равен углу ABD.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него угол BAD равен углу ABD, так как это равнобедренный треугольник. Известно, что угол BAD равен углу BAC, так как BD - медиана, которая делит угол BAC на два равных угла.

Итак, у нас есть равенство углов BAC и BCA. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, а угол BAC и угол BCA равны, то угол BAC равен 90 градусам. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

10. a) Если точка M находится вне квадрата ABCD, то угол DMC равен 60 градусам.

Построим отрезок DM. Поскольку треугольник ABM - равносторонний, то угол ABM равен 60 градусам. Кроме того, угол ABM равен углу DMC, так как они смотрят на одну и ту же дугу AM.

Таким образом, угол DMC равен 60 градусам.

б) Если точка M находится внутри квадрата ABCD, то угол DMC также равен 60 градусам.

Построим отрезок DM и проведем прямую ME, где E - середина стороны AB.

Поскольку треугольник ABM - равносторонний, то угол ABM равен 60 градусам. Также угол DME равен 90 градусам, так как это прямой угол (прямая ME перпендикулярна стороне AB).

Таким образом, угол DMC равен сумме углов ABM и DME, то есть 60 + 90 = 150 градусам.

Итак, в случае а) и б) угол DMC равен 60 градусам.