Question

Доказать, что 11n^2-14n+3 больше либо равно нулю при всех целых n Какое тут нужно решение?

Answer 1

Предположим что есть отрицательные значения при целых n

Решаем неравенство :

11*n^2-14*n+3 <0

n1= 1

n2= 3/11 <1

Поскольку  a=11 ,  то ветви  параболы идут вверх ,  тогда :

n∈ (3/11 ;1) - в данный интервал не входит ни одного целого  значения.

Вывод :  трехчлен положителен для любого целого n

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $11n^2 - 14n + 3$ больше либо равно нулю для всех целых $n$, мы должны использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При $n = 0$, проверим значение выражения: $11 \cdot 0^2 - 14 \cdot 0 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3$. Так как $3$ больше $0$, базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа $k$. Это означает, что $11k^2 - 14k + 3 \geq 0$.

Шаг 3: Шаг индукции Теперь докажем, что утверждение верно для $k+1$. То есть, докажем, что $11(k+1)^2 - 14(k+1) + 3 \geq 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $11(k+1)^2 - 14(k+1) + 3 = 11(k^2 + 2k + 1) - 14k - 14 + 3$ $= 11k^2 + 22k + 11 - 14k - 11$ $= 11k^2 + 8k$.

Теперь добавим предположение индукции: $11k^2 + 8k + (11k^2 - 14k + 3)$.

Мы знаем, что $11k^2 - 14k + 3 \geq 0$ из предположения индукции, и поэтому оставшаяся часть выражения $11k^2 + 8k$ тоже больше либо равна нулю, так как к неотрицательному числу мы прибавляем другое неотрицательное число.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$.

Шаг 4: Заключение Мы использовали метод математической индукции, чтобы показать, что выражение $11n^2 - 14n + 3$ больше либо равно нулю для всех целых $n$.