Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченную кривыми (+ рисунок) Y=(x-2)^2, y=x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

пошаговое объяснение

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми Y = (x - 2)^2 и y = x, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними по оси x.

Давайте сначала найдем точки пересечения кривых, приравняв уравнения: (x - 2)^2 = x

Раскроем скобки: x^2 - 4x + 4 = x

Приведем подобные члены: x^2 - 5x + 4 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня или факторизации.

Факторизуем уравнение: (x - 1)(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x1 = 1 и x2 = 4

Теперь мы можем построить график кривых, чтобы визуализировать их пересечение:

markdownCopy code
    |        *
    |       *
    |      *
    |     *
    |    *
    |   *
    |  *
    | *
    |*_______

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нужно интегрировать разность между ними по оси x от x = 1 до x = 4.

Площадь фигуры будет равна: S = ∫[1,4] [(x - 2)^2 - x] dx

Вычислим этот интеграл: S = ∫[1,4] (x^2 - 4x + 4 - x) dx

S = ∫[1,4] (x^2 - 5x + 4) dx

S = [x^3/3 - (5x^2)/2 + 4x] [1,4]

S = [(4^3/3 - (54^2)/2 + 44) - (1^3/3 - (51^2)/2 + 41)]

S = [(64/3 - (80/2) + 16) - (1/3 - (5/2) + 4)]

S = [(64/3 - 40 + 16) - (1/3 - 5/2 + 4)]

S = [(64/3 - 24) - (1/3 - 5/2 + 4)]

S = [64/3 - 24 - 1/3 + 5/2 - 4]

S = 64/3 - 72/3 - 1/3 + 15/2 - 4

S = -8/3 - 1/3 + 15/2 - 4

S = -9/3 + 15/2 - 4

S = -3 + 15/2 - 4

S = -3 + 7.5 - 4

S = 0.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми Y = (x - 2)^2 и y = x, равна 0.5 единицы площади.