Question

В прямоугольном треугольнике один катет на 3 см больше другого .гипотенуза с большим катетом так относится как 5:4 .Найди гипотенузу Помогите

Answer 1

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

Найдем АВ по теореме Пифагора:

$\sqrt{x {}^{2} + (x + 3) {}^{2} } = \sqrt{2x {}^{2} + 6x + 9 }$

Составим пропорцию,по условию АВ/СВ=5/4:

$\frac{ \sqrt{2x {}^{2} + 6x + 9} }{x + 3} = \frac{5}{4}$

$4 \sqrt{2x {}^{2} + 6x + 9 } = 5x + 15$

Возведем обе части в квадрат:

$16(2x {}^{2} + 6x + 9) = (5x + 15) {}^{2}$

$32x {}^{2} + 96x + 144 = 25x {}^{2} + 150x + 225$

Упрощаем:

$7x {}^{2} - 54x - 81 = 0$

Корни:

$x = - \frac{9}{7}$

$x = 9$

Подставляем в формулу АВ:

$\sqrt{2x {}^{2} + 6x + 9} = \sqrt{2 \times 81 + 6 \times 9 + 9} = 15$

Answer 2

Пусть один катет треугольника равен x см. Тогда другой катет будет равен (x + 3) см. Гипотенуза с большим катетом относится к нему как 5:4, то есть:

Гипотенуза = (5/4) * (x + 3)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где a и b - катеты, а c - гипотенуза, имеем:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим значения катетов и гипотенузы в уравнение:

x^2 + (x + 3)^2 = ((5/4) * (x + 3))^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + (x^2 + 6x + 9) = (25/16) * (x^2 + 6x + 9)

Упростим ещё раз:

2x^2 + 12x + 9 = (25/16) * (x^2 + 6x + 9)

Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от дроби:

32x^2 + 192x + 144 = 25x^2 + 150x + 225

Перенесём все члены в одну сторону и упростим:

7x^2 - 42x - 81 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 * 7 * (-81) = 1764 + 2268 = 4032

x = (-b ± √D) / (2a) = (42 ± √4032) / (2 * 7) ≈ (42 ± 63.525) / 14

Так как длина не может быть отрицательной, выберем только положительное значение:

x ≈ (42 + 63.525) / 14 ≈ 8.037

Теперь можем найти гипотенузу с помощью уравнения:

Гипотенуза = (5/4) * (x + 3) = (5/4) * (8.037 + 3) ≈ (5/4) * 11.037 ≈ 13.796

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника составляет примерно 13.796 см.