Question

В урне 9 белых и 7 черных шаров. Из урны вынули 10 шаров, не возвращая каждый вынутый шар обратно.Какова вероятность,что 4 из них черные?

Answer 1

Вероятность определим как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Число благоприятных исходов - это количество способов выбрать из 7 черных шаров 4 и из 9 белых шаров оставшиеся 10-4=6. Заметим, что выбор черных и белых шаров независим, поэтому каждому выбору черных шаров может соответствовать некоторый выбор белых шаров.

Общее число исходов - это количество способов выбрать из 9+7=16 шаров некоторые 10.

$P(A)=\dfrac{C_7^4\cdot C_9^6}{C_{16}^{10}} =\dfrac{C_7^{7-4}\cdot C_9^{9-6}}{C_{16}^{16-10}} =\dfrac{C_7^3\cdot C_9^3}{C_{16}^6}= \\=\dfrac{\dfrac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3} \cdot \dfrac{9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3}}{\dfrac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}} =\dfrac{7\cdot5 \cdot 3\cdot4\cdot7}{4\cdot14\cdot13\cdot11}=\dfrac{7\cdot5 \cdot 3}{2\cdot13\cdot11}=\dfrac{105}{286}$

Ответ: 105/286

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику и вероятность.

Первым шагом определим общее число способов вытащить 10 шаров из урны без возвращения. Это можно сделать по формуле сочетаний: С(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество шаров (9 белых + 7 черных = 16), k - количество вытаскиваемых шаров (в данном случае 10).

С(16, 10) = 16! / (10! * 6!) = 8008.

Теперь определим число способов вытащить 4 черных шара из 7 доступных. Это также можно сделать с помощью формулы сочетаний: С(7, 4) = 7! / (4! * 3!) = 35.

Теперь определим вероятность того, что из 10 вытащенных шаров 4 будут черными. Для этого разделим число способов вытащить 4 черных шара на общее число способов вытащить 10 шаров: Вероятность = С(7, 4) / С(16, 10) = 35 / 8008 ≈ 0.00437.

Таким образом, вероятность того, что среди 10 вытащенных шаров 4 будут черными, составляет примерно 0.437%.